Dados sobre a espessura de óxido de semicondutores são os seguintes (em nm): 425; 431; 416; 419; 421; 436; 418; 410; 431; 433; 423; 426; 410; 435; 436; 428; 411; 426; 409; 437; 422; 428; 413; 416. Com base nesses dados:
Determine um intervalo de confiança para a estimativa do item (a), com nível de confiança de
; (R:
Determine um intervalo de confiança para a estimativa do item (a), com nível de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série de medidas da espessura de óxido de semicondutores em nanômetros (nm). Nosso objetivo aqui é determinar um intervalo de confiança de 95% para a média dessas medidas. Isso significa que queremos saber com que certeza a média real está dentro de um certo intervalo ao nosso redor. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média das medidas, o desvio padrão e usar a distribuição
de Student para encontrar o intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média aritmética das medidas. A média é a soma de todas as medidas dividida pelo número total de medidas.
As medidas são:
425, 431, 416, 419, 421, 436, 418, 410, 431, 433, 423, 426, 410, 435, 436, 428, 411, 426, 409, 437, 422, 428, 413, 416.
425, 431, 416, 419, 421, 436, 418, 410, 431, 433, 423, 426, 410, 435, 436, 428, 411, 426, 409, 437, 422, 428, 413, 416.
Vamos somar todas elas:
Agora, dividimos pela quantidade de medidas, que são 24:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão das medidas. O desvio padrão nos dá uma ideia de quão dispersos os dados estão em relação à média.
Primeiro, encontramos a diferença de cada medida em relação à média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de medidas menos um (para obter o desvio padrão amostral):
Calculando cada
e somando, obtemos aproximadamente:
Então:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos indica a precisão da estimativa da média:
Onde $ s = 3,9 , nm $ e $ n = 24 $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95%. Como temos uma amostra pequena (n < 30) e não conhecemos a variância populacional, usamos a distribuição
de Student.
Para 23 graus de liberdade (n - 1 = 24 - 1 = 23) e um nível de confiança de 95%, o valor crítico $ t_{0,025} $ é aproximadamente 2,069 (consultando uma tabela de distribuição t).
Passo 6
Finalmente, podemos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Arredondando:
Resposta
O intervalo de confiança para a média da espessura do óxido de semicondutores com nível de confiança de
é:
Ou seja, a média está entre 421,688 nm e 424,978 nm.