Uma empresa comprou 25 resistores do fabricante 1 e 30 resistores do fabricante 2. O fabricante 1 produz resistores com resistência média de 100 Omega e desvio-padrão de 1,5 Omega. O fabricante 2 produz resistores com resistência média de 105 Omega e desvio-padrão de 2,0 Omega. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que representam as resistências dos resistores dos fabricantes 1 e 2, respectivamente:
Qual a forma da distribuição de barX1-barX2 ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas amostras de resistores de fabricantes diferentes, com médias e desvios-padrão conhecidos. Queremos encontrar a forma da distribuição da diferença entre as médias das resistências dessas duas amostras, ou seja, barX1 - barX2. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de estatística sobre distribuições de médias amostrais e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Fabricante 1:
    • Número de resistores: $ n_{1} = 25 $
    • Média da resistência: $ \mu_{1} = 100,\Omega $
    • Desvio-padrão: $ \sigma_{1} = 1,5,\Omega $
  • Fabricante 2:
    • Número de resistores: $ n_{2} = 30 $
    • Média da resistência: $ \mu_{2} = 105,\Omega $
    • Desvio-padrão: $ \sigma_{2} = 2,0,\Omega $

Passo 3

A média amostral barX de uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição com média $ \mu $ e desvio-padrão $ \sigma $ segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. Isso se baseia no Teorema Central do Limite, que permite aproximar a distribuição das médias amostrais como normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande.

Passo 4

Aplicando isso para cada fabricante:
  • Para barX1:
    • Média: $ \mu_{1} = 100,\Omega $
    • Desvio-padrão: $ \sigma_{\bar{X}_{1}} = \frac{1,5}{\sqrt{25}} = 0,3,\Omega $
  • Para mu1 = 100,Omega :
    • Média: $ \mu_{2} = 105,\Omega $
    • Desvio-padrão: $ \sigma_{\bar{X}_{2}} = \frac{2,0}{\sqrt{30}} \approx 0,365,\Omega $

Passo 5

Agora, queremos a distribuição da diferença barX1 - barX2. Quando duas variáveis aleatórias são independentes e seguem distribuições normais, a diferença entre elas também segue uma distribuição normal. A média da diferença é a diferença das médias, e a variância é a soma das variâncias.

Passo 6

Calculando a média e o desvio-padrão da diferença:
  • Média da diferença:
    mubarX1 - barX2 = mu1 - mu2 = 100 - 105 = -5,Omega
  • Variância da diferença:
    sigma^2barX1 - barX2 = sigma^2barX1 + sigma^2barX2 = 0,3^2 + 0,365^2 approx 0,09 + 0,133 = 0,223
  • Desvio-padrão da diferença:
    sigmabarX1 - barX2 = raiz0,223 approx 0,473,Omega

Resposta

A distribuição de barX1 - barX2 é normal com média igual a -5,Omega e desvio-padrão aproximadamente 0,473,Omega, ou seja:
barX1 - barX2 sim N(-5, 0,473^2)

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