Uma empresa comprou 25 resistores do fabricante 1 e 30 resistores do fabricante 2. O fabricante 1 produz resistores com resistência média de
e desvio-padrão de
. O fabricante 2 produz resistores com resistência média de
e desvio-padrão de
. Sejam
e
as variáveis aleatórias que representam as resistências dos resistores dos fabricantes 1 e 2, respectivamente:
Qual a forma da distribuição de
?
Qual a forma da distribuição de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas amostras de resistores de fabricantes diferentes, com médias e desvios-padrão conhecidos. Queremos encontrar a forma da distribuição da diferença entre as médias das resistências dessas duas amostras, ou seja,
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de estatística sobre distribuições de médias amostrais e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
-
Fabricante 1:
- Número de resistores: $ n_{1} = 25 $
- Média da resistência: $ \mu_{1} = 100,\Omega $
- Desvio-padrão: $ \sigma_{1} = 1,5,\Omega $
-
Fabricante 2:
- Número de resistores: $ n_{2} = 30 $
- Média da resistência: $ \mu_{2} = 105,\Omega $
- Desvio-padrão: $ \sigma_{2} = 2,0,\Omega $
Passo 3
A média amostral
de uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição com média $ \mu $ e desvio-padrão $ \sigma $ segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. Isso se baseia no Teorema Central do Limite, que permite aproximar a distribuição das médias amostrais como normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande.
Passo 4
Aplicando isso para cada fabricante:
-
Para
: - Média: $ \mu_{1} = 100,\Omega $
- Desvio-padrão: $ \sigma_{\bar{X}_{1}} = \frac{1,5}{\sqrt{25}} = 0,3,\Omega $
-
Para
: - Média: $ \mu_{2} = 105,\Omega $
- Desvio-padrão: $ \sigma_{\bar{X}_{2}} = \frac{2,0}{\sqrt{30}} \approx 0,365,\Omega $
Passo 5
Agora, queremos a distribuição da diferença
. Quando duas variáveis aleatórias são independentes e seguem distribuições normais, a diferença entre elas também segue uma distribuição normal. A média da diferença é a diferença das médias, e a variância é a soma das variâncias.
Passo 6
Calculando a média e o desvio-padrão da diferença:
-
Média da diferença:
-
Variância da diferença:
-
Desvio-padrão da diferença:
Resposta
A distribuição de
é normal com média igual a
e desvio-padrão aproximadamente
, ou seja: