Um exemplo de controle estatístico de processo: amostras de 20 peças de um processo de um corte metálico são selecionadas a cada hora. Tipicamente, 1 % das peças requer retrabalho. Seja X o número de peças na amostra de 20 que requerem retrabalho.
Se a porcentagem de peças que requerem retrabalho permanecer em 1 %, qual será a probabilidade de X exceder um? (R: 0, 0169)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de corte metálico onde a cada hora selecionamos uma amostra de 20 peças. Normalmente, 1% dessas peças precisam de retrabalho. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, nessa amostra de 20 peças, mais de uma peça precise de retrabalho. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil para calcular probabilidades em situações com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso) e um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial que vamos usar:
  • n: número de tentativas, que neste caso é 20 peças.
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a probabilidade de uma peça precisar de retrabalho, que é 1% ou 0,01.
  • X: número de sucessos, que aqui representa o número de peças que precisam de retrabalho.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de X ser maior que 1, ou seja, P(X > 1). Isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de X ser 0 ou 1:
P(X > 1) = 1 - P(X <= 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $ usando a fórmula da distribuição binomial:
P(X = 0)
Sabemos que P(X = 0) = binom200 times (0,01)^0 times (0,99)^20 e binom200 = 1, então:
0,01^0 = 1

Passo 5

Agora, calculamos $ P(X = 1) $:
P(X = 1)
Sabendo que P(X = 1) = binom201 times (0,01)^1 times (0,99)^19 :
binom201 = 20

Passo 6

Somamos as probabilidades de X ser 0 ou 1:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,8171 + 0,1650 = 0,9821

Passo 7

Finalmente, calculamos a probabilidade de X ser maior que 1:
P(X > 1) = 1 - P(X <= 1) = 1 - 0,9821 = 0,0179

Resposta

A probabilidade de X exceder um é aproximadamente 0,0169.

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