Dados os subespaços e do , determine o subespaço intersecção .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta dois subespaços no espaço tridimensional . O primeiro subespaço, , é definido por todas as coordenadas onde . O segundo subespaço, , é definido por todas as coordenadas onde . Nosso objetivo é encontrar a intersecção desses dois subespaços, ou seja, todos os pontos que estão tanto em quanto em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada subespaço. No subespaço , temos a equação . Isso nos diz que . Então, qualquer ponto em pode ser escrito como , onde e podem ser quaisquer números reais.
Já no subespaço , temos que . Então, qualquer ponto em é da forma , onde e são quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar a intersecção , precisamos encontrar todos os pontos que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente. Ou seja, precisamos que e sejam verdadeiros ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver essas duas equações juntas. Sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, descobrimos que também deve ser igual a zero.
Passo 5
Com e , o único componente que pode variar é . Portanto, todos os pontos na intersecção têm a forma , onde pode ser qualquer número real.