Dados
números reais positivos
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois números positivos,
e
, e uma variável aleatória
. O problema nos dá duas igualdades envolvendo probabilidades condicionais:
e
Vamos precisar entender o que essas igualdades significam e quais propriedades da probabilidade vamos usar para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de probabilidade condicional. Para dois eventos
e
, a probabilidade de
dado
é:
No nosso caso, vamos aplicar isso para
e
.
Passo 3
Aplicando a definição de probabilidade condicional à primeira igualdade:
Observamos que
já está incluído em
, ou seja, se
, necessariamente
. Então, podemos simplificar:
Passo 4
De acordo com o exercício, essa probabilidade é igual a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Essa equação sugere uma propriedade especial da distribuição da variável aleatória
. Especificamente, ela satisfaz a propriedade de “falta de memória”, que é característica da distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória diz que a probabilidade de esperar mais
unidades de tempo, dado que já se esperaram
unidades de tempo, é a mesma de esperar
unidades de tempo desde o início.
Passo 6
Portanto, concluímos que a variável aleatória
que satisfaz as igualdades dadas segue uma distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória é fundamental na definição dessa distribuição e é exatamente o que foi demonstrado pelas igualdades do exercício.
Resposta
As igualdades dadas indicam que
segue uma distribuição exponencial, caracterizada pela propriedade de falta de memória:
Exercícios relacionados
Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado
. Seja
a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável .
24a
Determinar a f.d.a e d.f.p da variável
Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada, sendo o diâmetro medido. Os dados ( em mm ) resultantes são mostrados a seguir:
Dessa forma, supondo que o diâmetro segue uma distribuição normal, encontre um intervalo de confiança de
para o diâmetro médio dos bastões da população. Interprete o intervalo obtido. Resposta: [8,220; 8,248]
Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória
seja
para
e zero para os demais valores. Encontre
, a f.d.p. de
, e
, sua f.a.p, para:
12a
(a)
12a
(a)
Seja
uma v.a. contínua distribuída uniformemente em
, donde
. Determinar a, se é possível, tal que:
6a
(a) ,
6a
(a)