Dados
números reais positivos
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois números positivos,
e
, e uma variável aleatória
. O problema nos dá duas igualdades envolvendo probabilidades condicionais:
e
Vamos precisar entender o que essas igualdades significam e quais propriedades da probabilidade vamos usar para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de probabilidade condicional. Para dois eventos
e
, a probabilidade de
dado
é:
No nosso caso, vamos aplicar isso para
e
.
Passo 3
Aplicando a definição de probabilidade condicional à primeira igualdade:
Observamos que
já está incluído em
, ou seja, se
, necessariamente
. Então, podemos simplificar:
Passo 4
De acordo com o exercício, essa probabilidade é igual a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Essa equação sugere uma propriedade especial da distribuição da variável aleatória
. Especificamente, ela satisfaz a propriedade de “falta de memória”, que é característica da distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória diz que a probabilidade de esperar mais
unidades de tempo, dado que já se esperaram
unidades de tempo, é a mesma de esperar
unidades de tempo desde o início.
Passo 6
Portanto, concluímos que a variável aleatória
que satisfaz as igualdades dadas segue uma distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória é fundamental na definição dessa distribuição e é exatamente o que foi demonstrado pelas igualdades do exercício.
Resposta
As igualdades dadas indicam que
segue uma distribuição exponencial, caracterizada pela propriedade de falta de memória: