Dados t, t0 números reais positivos
P(X >= t+t0 mid X >= t0)=P(X >= t) e P(X <= t+t0 mid X >= t0)=P(X <= t)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois números positivos, P(X >= t + t0 mid X >= t0) = P(X >= t) e P(X <= t + t0 mid X >= t0) = P(X <= t) , e uma variável aleatória . O problema nos dá duas igualdades envolvendo probabilidades condicionais:
e
Vamos precisar entender o que essas igualdades significam e quais propriedades da probabilidade vamos usar para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de probabilidade condicional. Para dois eventos P(A mid B) = P(A cap B)P(B) e , a probabilidade de dado é:
No nosso caso, vamos aplicar isso para e .

Passo 3

Aplicando a definição de probabilidade condicional à primeira igualdade:
P(X >= t + t0 mid X >= t0) = P(X >= t + t0 cap X >= t0)P(X >= t0)
Observamos que P(X >= t + t0 mid X >= t0) = P(X >= t + t0)P(X >= t0) já está incluído em , ou seja, se , necessariamente . Então, podemos simplificar:

Passo 4

De acordo com o exercício, essa probabilidade é igual a P(X >= t + t0)P(X >= t0) = P(X >= t) :
P(X >= t + t0) = P(X >= t0) cdot P(X >= t)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Essa equação sugere uma propriedade especial da distribuição da variável aleatória . Especificamente, ela satisfaz a propriedade de “falta de memória”, que é característica da distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória diz que a probabilidade de esperar mais unidades de tempo, dado que já se esperaram unidades de tempo, é a mesma de esperar unidades de tempo desde o início.

Passo 6

Portanto, concluímos que a variável aleatória que satisfaz as igualdades dadas segue uma distribuição exponencial. A propriedade de falta de memória é fundamental na definição dessa distribuição e é exatamente o que foi demonstrado pelas igualdades do exercício.

Resposta

As igualdades dadas indicam que P(X >= t + t0 mid X >= t0) = P(X >= t) e P(X <= t + t0 mid X >= t0) = P(X <= t) segue uma distribuição exponencial, caracterizada pela propriedade de falta de memória:

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