Seja X uma v.a. contínua distribuída uniformemente em [-a, a], donde a>0. Determinar a, se é possível, tal que:
6a
(a) P(|X|>1)=P(|X|<1),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma variável aleatória contínua, , que é distribuída de forma uniforme no intervalo . Precisamos encontrar o valor de que faz com que a probabilidade de seja igual à probabilidade de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fX(x) = 12a para x in [-a, a] ser distribuída uniformemente em . Isso quer dizer que a densidade de probabilidade de é constante nesse intervalo. A fórmula da densidade é:
e zero fora desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular P(|X| < 1) = P(-1 < X < 1) = integral-1^1 fX(x) , dx = 12a times (1 - (-1)) = 22a = 1a . Isso equivale a calcular a probabilidade de estar entre e :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular P(|X| > 1) = P(X < -1) + P(X > 1) = integral-a^-1 fX(x) , dx + integral1^a fX(x) , dx . Isso é a probabilidade de 12a times (a - 1) = a - 12a estar fora do intervalo P(|X| > 1) = 2 times a - 12a = a - 1a a , ou seja, menor que ou maior que :
Cada uma dessas integrais é:
Então, somando as duas:

Passo 5

O exercício pede para igualar essas duas probabilidades:
P(|X| > 1) = P(|X| < 1) Rightarrow a - 1a = 1a
Vamos resolver essa equação para .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por a - 1 = 1 para eliminar o denominador:
a = 2
Agora, somando 1 dos dois lados:

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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