Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória seja para e zero para os demais valores. Encontre , a f.d.p. de , e , sua f.a.p, para:
12a
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória , que é para e zero fora desse intervalo. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade e a função distribuição acumulada para a variável .
Vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias para resolver isso. Precisamos entender como transformar a f.d.p. de para obter a f.d.p. de e depois integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . Como varia de a , varia de a . Assim, varia de até . Ou seja, o intervalo de é .

Passo 3

Para encontrar a f.d.p. de , usamos a fórmula de transformação de variáveis contínuas. Quando , a f.d.p. de é dada por:
Aqui, são os valores de que satisfazem .

Passo 4

Resolvendo para , temos:
Então, para cada no intervalo , existem dois valores de : e .

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de em relação a :
O valor absoluto dessa derivada é:

Passo 6

Substituindo na fórmula da transformação, temos:
Como para entre e , substituímos:
Portanto, a f.d.p. de é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função distribuição acumulada . A f.a.p. é a integral da f.d.p.:
Como é zero fora de , a integral relevante é de até :

Passo 8

Fazendo a substituição , então . Os limites de integração mudam para quando e quando . A integral fica:
Integrando:

Resposta

A função densidade de probabilidade de é:
E a função distribuição acumulada de é:

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Dados números reais positivos
Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado . Seja a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
24a
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Seja uma v.a. contínua distribuída uniformemente em , donde . Determinar a, se é possível, tal que:
6a
(a) ,
Suponha que a tensão elétrica de pilhas fabricadas siga uma distribuição uniforme no intervalo . Qual é a probabilidade de que uma pilha apresente uma tensão elétrica mínima de ?