Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 <= x <= 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
12a
(a) Y=4-X^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória , que é para e zero fora desse intervalo. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade e a função distribuição acumulada para a variável .
Vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias para resolver isso. Precisamos entender como transformar a f.d.p. de para obter a f.d.p. de e depois integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . Como varia de a , varia de a . Assim, varia de até . Ou seja, o intervalo de é .

Passo 3

Para encontrar a f.d.p. g(y) = sumx in h^-1(y) f(x)|h'(x)| de , usamos a fórmula de transformação de variáveis contínuas. Quando , a f.d.p. de é dada por:
Aqui, são os valores de que satisfazem .

Passo 4

Resolvendo X = pm raiz4 - Y para , temos:
Então, para cada no intervalo , existem dois valores de : e .

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de dYdX = -2X em relação a | dYdX | = 2|X| :
O valor absoluto dessa derivada é:

Passo 6

Substituindo na fórmula da transformação, temos:
g(y) = f(raiz4 - y)2 raiz4 - y + f(-raiz4 - y)2 raiz4 - y
Como g(y) = 0,52 raiz4 - y + 0,52 raiz4 - y = 12 raiz4 - y para g(y) = 12 raiz4 - y para 3 <= y <= 4 entre e , substituímos:
Portanto, a f.d.p. de é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função distribuição acumulada G(y) = integral-infty^y g(t) , dt . A f.a.p. é a integral da f.d.p.:
G(y) = integral3^y 12 raiz4 - t , dt
Como é zero fora de , a integral relevante é de até :

Passo 8

Fazendo a substituição G(y) = integral1^4 - y 12 raizu cdot (-du) = integral4 - y^1 12 raizu , du , então G(y) = [ raizu ]4 - y^1 = raiz1 - raiz4 - y = 1 - raiz4 - y . Os limites de integração mudam para quando e quando . A integral fica:
Integrando:

Resposta

A função densidade de probabilidade de g(y) = 12 raiz4 - y para 3 <= y <= 4 é:
G(y) = 0, & para y < 3 1 - raiz4 - y, & para 3 <= y <= 4 1, & para y > 4
E a função distribuição acumulada de é:

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