Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
§ un=7^-n 3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por e também calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito, se ele existir. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, que fazem parte do estudo de progressões e comportamento de funções à medida que os termos aumentam. Para resolver isso, vamos calcular cada termo substituindo pelos valores 1, 2, 3 e 4, e depois analisar o comportamento geral da sequência para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro termo u1 = 7^-1 cdot 3^1-1 = 17 cdot 3^0 . Basta substituir u1 = 17 cdot 1 = 17 na fórmula:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo termo u2 = 7^-2 cdot 3^2-1 = 17^2 cdot 3^1 = 149 cdot 3 = 349 :

Passo 4

Vamos para o terceiro termo u3 = 7^-3 cdot 3^3-1 = 17^3 cdot 3^2 = 1343 cdot 9 = 9343 :

Passo 5

E agora, o quarto termo u4 = 7^-4 cdot 3^4-1 = 17^4 cdot 3^3 = 12401 cdot 27 = 272401 :

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite da sequência quando limn to infty un = limn to infty 7^-n cdot 3^n-1 tende ao infinito:
un = 3^n-17^n = 3^n7^n cdot 13 = ( 37 )^n cdot 13
Podemos reescrever a expressão:
limn to infty ( 37 )^n cdot 13 = 0
Sabemos que é menor que 1, e quando uma base menor que 1 é elevada a tendendo ao infinito, o resultado tende a 0:

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são:
u1 = 17, u2 = 349, u3 = 9343, u4 = 272401
E o limite da sequência quando limn to infty un = 0 tende ao infinito é:

Exercícios relacionados

Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(l) un=n^22^n
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(g) un=ln (1n)
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(d) {0, 1/4, 2/9, 3/16, ...}
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(a) cosh (0) e cosh (1)