Dados u = (3, 1) e v = (2, -1) e w = (-20, 5), escreva w como uma combinação linear de u e v. Isto é, determine escalares a e b tais que w = a u + b u.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para escrever o vetor w como uma combinação linear dos vetores u e v. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para isso, precisamos encontrar os escalares a e b que satisfazem a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores com suas componentes:
A equação que queremos resolver é:
Substituindo os vetores:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares a e b dentro dos vetores:
Somando as componentes correspondentes:

Passo 4

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar a:
Substituindo esse valor de a na primeira equação:
Agora, subtraindo 15 de ambos os lados:
Com , substituímos de volta para encontrar a:

Resposta

Os escalares são e . Portanto, podemos escrever:

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