Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar a equação de um plano pi que contém duas retas dadas. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente como encontrar a equação de um plano que passa por duas retas. Vamos precisar entender como representar retas no espaço tridimensional e usar vetores para achar a normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as retas que a gente tem. A primeira reta é:
r: l x = 2 + t y = -z z = 3
Olha só, aqui o parâmetro é t. Como z sempre é 3, isso significa que y = -3. Então, podemos escrever a reta r de forma paramétrica como:
r(t) = (2 + t,, -3,, 3)
Isso nos dá um ponto na reta (P0 = (2, -3, 3)) e um vetor diretor (u = (1, 0, 0)), já que o x varia com t e os outros componentes são constantes.
Passo 3
Agora, vamos olhar pra segunda reta. Parece que houve um pequeno erro na formatação, mas vamos interpretar como:
s: l x2 = y2 z = 4
Simplificando, temos x = y e z = 4. Então, podemos parametrizar essa reta com um parâmetro s:
s(s) = (2s,, 2s,, 4)
Aqui, o ponto na reta pode ser (Q0 = (0, 0, 4)) quando s=0, e o vetor diretor é (v = (2, 2, 0)), já que x e y variam juntas e z é constante.
Passo 4
Pra achar a equação do plano pi, a gente precisa de um ponto que esteja no plano e de um vetor normal ao plano. Já temos dois pontos nas retas que estão no plano: P0 = (2, -3, 3) e Q0 = (0, 0, 4). Também temos os vetores diretores das retas: u = (1, 0, 0) e v = (2, 2, 0).
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano. Pra isso, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores diretores das retas. O produto vetorial n = u times v vai nos dar o vetor normal.
Calculando:
n = u times v = i & j & k 1 & 0 & 0 2 & 2 & 0 = (0 cdot 0 - 0 cdot 2)i - (1 cdot 0 - 0 cdot 2)j + (1 cdot 2 - 0 cdot 2)k = (0, 0, 2)
Então, o vetor normal é n = (0, 0, 2).
Passo 6
Com o vetor normal e um ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto genérico no plano e r0 = (2, -3, 3) é o ponto que pegamos da reta r. Substituindo: