Sejam v=(-7,-7,8,0) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x-3 y+2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a projeção ortogonal do vetor v=(-7,-7,8,0) sobre o espaço H, que é definido pela equação x - 3y + 2z + w = 0. Esse exercício está na área de álgebra linear, mais especificamente sobre projeções em espaços vetoriais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como projetar vetores em subespaços e usar um pouco de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao espaço H. A equação de H é x - 3y + 2z + w = 0, o que significa que o vetor normal é n = (1, -3, 2, 1). Esse vetor é perpendicular a todo vetor em H.

Passo 3

A dica do exercício sugere projetar v em H^perp, o complemento ortogonal de H. Como H é um hiperplano em R^4, seu complemento ortogonal H^perp é a linha gerada pelo vetor normal n. Então, vamos calcular a projeção de v em n.

Passo 4

A fórmula para a projeção de v em n é:
PH^perp v = v cdot nn cdot n n
Primeiro, calculamos o produto interno v cdot n:
(-7)(1) + (-7)(-3) + (8)(2) + (0)(1) = -7 + 21 + 16 + 0 = 30

Passo 5

Agora, calculamos n cdot n:
1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15

Passo 6

Substituindo na fórmula da projeção:
PH^perp v = 3015 n = 2 cdot (1, -3, 2, 1) = (2, -6, 4, 2)

Passo 7

Agora, para encontrar a projeção de v em H, usamos:
PH v = v - PH^perp v = (-7, -7, 8, 0) - (2, -6, 4, 2) = (-9, -1, 4, -2)

Resposta

O valor de w3 é 4, ou seja, a alternativa correta é (D) 4.

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