Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a projeção ortogonal do vetor
sobre o espaço
, que é definido pela equação
. Esse exercício está na área de álgebra linear, mais especificamente sobre projeções em espaços vetoriais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como projetar vetores em subespaços e usar um pouco de geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao espaço
. A equação de
é
, o que significa que o vetor normal é
. Esse vetor é perpendicular a todo vetor em
.
Passo 3
A dica do exercício sugere projetar
em
, o complemento ortogonal de
. Como
é um hiperplano em
, seu complemento ortogonal
é a linha gerada pelo vetor normal
. Então, vamos calcular a projeção de
em
.
Passo 4
A fórmula para a projeção de
em
é:
Primeiro, calculamos o produto interno
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da projeção:
Passo 7
Agora, para encontrar a projeção de
em
, usamos:
Resposta
O valor de
é 4, ou seja, a alternativa correta é (D) 4.