Dados os vetores u=(1,7,1) e v=(2,11, a), determine a para que o paralelogramo determinado por u e v tenha área 10 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , e precisamos encontrar o valor de para que o paralelogramo formado por esses vetores tenha área 10. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial e a fórmula da área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado por dois vetores Área = |u times v| e é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja,
Á
Então, vamos calcular o produto vetorial .

Passo 3

O produto vetorial de u times v = i & j & k 1 & 7 & 1 2 & 11 & a e u times v = i(7 cdot a - 1 cdot 11) - j(1 cdot a - 1 cdot 2) + k(1 cdot 11 - 7 cdot 2) é dado por:
u times v = i(7a - 11) - j(a - 2) + k(11 - 14)
Calculando o determinante:
u times v = (7a - 11, -a + 2, -3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para igualar à área desejada de 10:
|u times v| = raiz(7a - 11)^2 + (-a + 2)^2 + (-3)^2 = 10
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(7a - 11)^2 + (-a + 2)^2 + 9 = 100
Expandindo os quadrados:
49a^2 - 154a + 121 + a^2 - 4a + 4 + 9 = 100
Somando os termos semelhantes:
50a^2 - 158a + 134 = 100
Subtraindo 100 de ambos os lados:
50a^2 - 158a + 34 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
25a^2 - 79a + 17 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = 79 pm raiz79^2 - 4 cdot 25 cdot 172 cdot 25
Calculando o discriminante:
De
Então,
a = 79 pm raiz454150
A raiz quadrada de 4541 é aproximadamente 67.43, então:
a = 79 pm 67.4350
Isso nos dá duas soluções:
a1 = 79 + 67.4350 approx 146.4350 approx 2.93
a2 = 79 - 67.4350 approx 11.5750 approx 0.23

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são aproximadamente e .

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