Seja A uma matriz 2 times 4 de posto dois. Existe uma matriz B, de posto dois, tal que A B=0 ?

Passo 1

Na questão, temos uma matriz de tamanho com posto (rank) igual a 2. A pergunta é: existe uma matriz , também de posto dois, tal que o produto ? Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especialmente sobre o posto de matrizes e espaços nulos.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o maior número de colunas (ou linhas) linearmente independentes que ela possui. No caso da matriz Posto(A) + Nulidade(A) = número de colunas de A , que é 2 + Nulidade(A) = 4 implies Nulidade(A) = 2 e tem posto 2, isso significa que existem duas colunas em que são linearmente independentes.
Além disso, precisamos conhecer o Espaço Nulo de uma matriz, que é o conjunto de todos os vetores tais que . A dimensão desse espaço é chamada de nulidade da matriz. Existe um teorema importante chamado Teorema da Dimensão, que nos diz que:
ú
No caso da matriz :
Isso significa que o espaço nulo de tem dimensão 2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma matriz tal que e tenha posto 2. Vamos pensar em como uma matriz de tamanho , já que tem 4 colunas e queremos que o produto seja definido.
Para que , cada coluna de deve estar no espaço nulo de . Sabemos que o espaço nulo de tem dimensão 2, então podemos escolher duas colunas que são vetores independentes nesse espaço.

Passo 4

Escolhemos duas colunas B = b1 & b2 e que estão no espaço nulo de e que são linearmente independentes. Construímos a matriz com essas colunas:
Como e são independentes e ambos estão no espaço nulo de , o produto será a matriz nula, e terá posto 2.

Resposta

Sim, existe uma matriz de posto dois tal que .

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