Seja
uma matriz
de posto dois. Existe uma matriz
, de posto dois, tal que
?
Passo 1
Na questão, temos uma matriz
de tamanho
com posto (rank) igual a 2. A pergunta é: existe uma matriz
, também de posto dois, tal que o produto
? Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especialmente sobre o posto de matrizes e espaços nulos.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o maior número de colunas (ou linhas) linearmente independentes que ela possui. No caso da matriz
, que é
e tem posto 2, isso significa que existem duas colunas em
que são linearmente independentes.
Além disso, precisamos conhecer o Espaço Nulo de uma matriz, que é o conjunto de todos os vetores
tais que
. A dimensão desse espaço é chamada de nulidade da matriz. Existe um teorema importante chamado Teorema da Dimensão, que nos diz que:
No caso da matriz
:
Isso significa que o espaço nulo de
tem dimensão 2.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma matriz
tal que
e
tenha posto 2. Vamos pensar em
como uma matriz de tamanho
, já que
tem 4 colunas e queremos que o produto seja definido.
Para que
, cada coluna de
deve estar no espaço nulo de
. Sabemos que o espaço nulo de
tem dimensão 2, então podemos escolher duas colunas que são vetores independentes nesse espaço.
Passo 4
Escolhemos duas colunas
e
que estão no espaço nulo de
e que são linearmente independentes. Construímos a matriz
com essas colunas:
Como
e
são independentes e ambos estão no espaço nulo de
, o produto
será a matriz nula, e
terá posto 2.
Resposta
Sim, existe uma matriz
de posto dois tal que
.