Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
operações usuais de
. Isto é,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em
, é um espaço vetorial sobre
. Ou seja, precisamos checar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, como
, é um conjunto acompanhado de duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que seguem certas regras chamadas axiomas. Para verificar se
é um espaço vetorial, precisamos confirmar que todos esses axiomas são satisfeitos dentro de
.
Passo 3
Os principais axiomas que precisamos verificar são:
- Fechamento sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar em , então também está em . - Existência do vetor zero: Existe um vetor zero em
tal que para todo em . - Existência de inversos aditivos: Para cada
em , existe um vetor em tal que . - Associatividade e comutatividade da adição, entre outros axiomas, mas como
está usando as operações usuais de , esses axiomas já são satisfeitos.
Vamos focar nos primeiros quatro para confirmar se
é realmente um subespaço vetorial.
Passo 4
1. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Suponha que
e
estão em
. Isso significa que:
Agora, vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
também satisfaz a equação
:
Então,
está em
. Fechamento sob adição confirmado!
Passo 5
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um vetor
em
e um escalar
em
. Sabemos que
.
Multiplicando
por
:
Vamos verificar se
satisfaz
:
Portanto,
também está em
. Fechamento sob multiplicação por escalar confirmado!
Passo 6
3. Existência do vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se
está em
:
Como a equação é satisfeita,
está em
. Portanto, o vetor zero existe em
.
Passo 7
4. Existência de inversos aditivos:
Para cada vetor
em
, queremos encontrar
que também esteja em
. Vamos verificar:
Assim,
também satisfaz a equação e está em
. Portanto, todos os vetores em
têm seus inversos aditivos em
.
Resposta
Como
satisfaz os axiomas de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, a existência do vetor zero e a existência dos inversos aditivos, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.