Verifique se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=(x, y) in R^2 ; 3 x-2 y=0 operações usuais de R^2. Isto é,
(x, y)+(z, w) & =(x+z, y+w) lambda(x, y) & =(lambda x, lambda y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em , é um espaço vetorial sobre . Ou seja, precisamos checar se satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo, como , é um conjunto acompanhado de duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que seguem certas regras chamadas axiomas. Para verificar se é um espaço vetorial, precisamos confirmar que todos esses axiomas são satisfeitos dentro de .

Passo 3

Os principais axiomas que precisamos verificar são:
  1. Fechamento sob adição: Se e estão em , então também está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar em , então também está em .
  3. Existência do vetor zero: Existe um vetor zero em tal que para todo em .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada em , existe um vetor em tal que .
  5. Associatividade e comutatividade da adição, entre outros axiomas, mas como está usando as operações usuais de , esses axiomas já são satisfeitos.
Vamos focar nos primeiros quatro para confirmar se é realmente um subespaço vetorial.

Passo 4

1. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em 3x1 - 2y1 = 0 e 3x2 - 2y2 = 0 . Suponha que u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) = 3x1 + 3x2 - 2y1 - 2y2 = (3x1 - 2y1) + (3x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0 estão em . Isso significa que:
Agora, vamos somar e :
Precisamos verificar se também satisfaz a equação :
Então, está em . Fechamento sob adição confirmado!

Passo 5

2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um vetor cu = (c x, c y) em 3(c x) - 2(c y) = c(3x - 2y) = c cdot 0 = 0 e um escalar em . Sabemos que .
Multiplicando por :
Vamos verificar se satisfaz :
Portanto, também está em . Fechamento sob multiplicação por escalar confirmado!

Passo 6

3. Existência do vetor zero:
O vetor zero em 3(0) - 2(0) = 0 - 0 = 0 é . Vamos verificar se está em :
Como a equação é satisfeita, está em . Portanto, o vetor zero existe em .

Passo 7

4. Existência de inversos aditivos:
Para cada vetor 3(-x) - 2(-y) = -3x + 2y = -(3x - 2y) = -0 = 0 em , queremos encontrar que também esteja em . Vamos verificar:
Assim, também satisfaz a equação e está em . Portanto, todos os vetores em têm seus inversos aditivos em .

Resposta

Como satisfaz os axiomas de fechamento sob adição e multiplicação por escalar, a existência do vetor zero e a existência dos inversos aditivos, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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