Sejam
e
o conjunto dos vetores ortogonais a
. Prove que
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
que não é o vetor nulo, ou seja,
. O conjunto
é formado por todos os vetores que são ortogonais a
. Nosso objetivo é provar que
não pertence a esse conjunto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é igual a zero. Ou seja, para qualquer vetor
em
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o próprio vetor
. Se tentarmos verificar se
pertence a
, precisamos calcular o produto escalar de
consigo mesmo:
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo (magnitude):
Como
, o módulo de
é diferente de zero:
Portanto:
Passo 4
Como
, isso significa que o produto escalar de
consigo mesmo não é zero. Logo,
não satisfaz a condição para pertencer a
, que exige que o produto escalar seja igual a zero.