Dados os vetores A e B : A tem módulo 5,0 cm e faz um ângulo de 30^circ com o eixo-x e B tem módulo 10,0 cm e faz um ângulo de 120^circ com o eixo-x.
c) Os módulos de A, B e A+B, determinados anteriormente, satisfazem o teorema de Pitágoras? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores, A e B. O vetor A tem um tamanho (ou módulo) de 5,0 cm e forma um ângulo de 30° com o eixo-x. Já o vetor B tem um tamanho de 10,0 cm e forma um ângulo de 120° com o eixo-x. A gente já determinou anteriormente as magnitudes desses vetores e a soma deles, A + B. Agora, a pergunta é: esses tamanhos satisfazem o Teorema de Pitágoras? Vamos descobrir juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Pitágoras. Ele diz que, em um triângulo retângulo (aquele que tem um ângulo de 90°), o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo de 90°) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Ou seja:
c^2 = a^2 + b^2
Onde:
  • c é a hipotenusa
  • a e b são os outros dois lados
Para que o Teorema de Pitágoras seja válido, os vetores devem formar um triângulo retângulo. Então, precisamos verificar se o ângulo entre A e B é de 90°.

Passo 3

Vamos calcular o ângulo entre os vetores A e B. Sabemos que o ângulo entre os dois vetores é a diferença entre os ângulos que cada vetor faz com o eixo-x.
Então:
theta = |120^circ - 30^circ| = 90^circ
Uau! O ângulo entre A e B é exatamente 90 graus. Isso significa que os vetores são perpendiculares.

Passo 4

Como os vetores A e B são perpendiculares, eles formam um triângulo retângulo quando somados. Nesse caso, o Teorema de Pitágoras vale, e podemos afirmar que:
|A + B|^2 = |A|^2 + |B|^2
Vamos substituir os valores que temos:
|A| = 5,0 , cm
|B| = 10,0 , cm
Então:
|A + B|^2 = (5,0 , cm)^2 + (10,0 , cm)^2
|A + B|^2 = 25 + 100 = 125 , cm^2
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
|A + B| = raiz125 approx 11,18 , cm

Resposta

Sim, os módulos de A, B e A + B satisfazem o Teorema de Pitágoras, pois os vetores são perpendiculares e $ |\mathbf{A} + \mathbf{B}| \approx 11,18 , cm $ resulta da soma dos quadrados dos módulos de A e B.

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