Dados os vetores
e
: A tem módulo
e faz um ângulo de
com o eixo-x e
tem módulo
e faz um ângulo de
com o eixo-x.
c) Os módulos de
e
, determinados anteriormente, satisfazem o teorema de Pitágoras? Justifique.
c) Os módulos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores, A e B. O vetor A tem um tamanho (ou módulo) de 5,0 cm e forma um ângulo de 30° com o eixo-x. Já o vetor B tem um tamanho de 10,0 cm e forma um ângulo de 120° com o eixo-x. A gente já determinou anteriormente as magnitudes desses vetores e a soma deles, A + B. Agora, a pergunta é: esses tamanhos satisfazem o Teorema de Pitágoras? Vamos descobrir juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Pitágoras. Ele diz que, em um triângulo retângulo (aquele que tem um ângulo de 90°), o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo de 90°) é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Ou seja:
Onde:
- c é a hipotenusa
- a e b são os outros dois lados
Para que o Teorema de Pitágoras seja válido, os vetores devem formar um triângulo retângulo. Então, precisamos verificar se o ângulo entre A e B é de 90°.
Passo 3
Vamos calcular o ângulo entre os vetores A e B. Sabemos que o ângulo entre os dois vetores é a diferença entre os ângulos que cada vetor faz com o eixo-x.
Então:
Uau! O ângulo entre A e B é exatamente 90 graus. Isso significa que os vetores são perpendiculares.
Passo 4
Como os vetores A e B são perpendiculares, eles formam um triângulo retângulo quando somados. Nesse caso, o Teorema de Pitágoras vale, e podemos afirmar que:
Vamos substituir os valores que temos:
Então:
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Sim, os módulos de A, B e A + B satisfazem o Teorema de Pitágoras, pois os vetores são perpendiculares e $ |\mathbf{A} + \mathbf{B}| \approx 11,18 , cm $ resulta da soma dos quadrados dos módulos de A e B.