Dados os vetores e :
(b) (1,0 ponto) Mostre que é um vetor unitário na direção do vetor .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos os vetores e . A questão (b) pede para mostrar que o vetor é um vetor unitário na direção de . Isso envolve dois conceitos principais da álgebra vetorial:
Vetor Unitário: Um vetor com magnitude (ou comprimento) igual a 1.
Direção de um Vetor: Dois vetores estão na mesma direção se um é um múltiplo escalar do outro.
Vamos resolver passo a passo para verificar se satisfaz essas condições.
Passo 2
Verificando se é um vetor unitário:
Para ser um vetor unitário, deve ter magnitude igual a 1. A magnitude de um vetor é calculada pela fórmula:
Vamos calcular a magnitude de :
Como a magnitude de w é 1, ela é realmente um vetor unitário.
Passo 3
Verificando se w está na direção de v:
Para que w esteja na direção de v, w deve ser um múltiplo escalar de v. Isso significa que existe um número real k tal que:
w = k cdot v
Vamos encontrar k:
Dado v = (-1, 2) e w = (-raiz55, 2 raiz55), temos:
-raiz55 = k cdot (-1) Rightarrow k = raiz55
2 raiz55 = k cdot 2 Rightarrow k = raiz55
O valor de k é consistente em ambas as componentes, o que confirma que w é um múltiplo escalar de v. Portanto, w está na mesma direção de v.
Resposta
O vetor w = (-raiz55, 2 raiz55) é um vetor unitário na direção do vetor v, pois possui magnitude igual a 1 e é um múltiplo escalar de v.