Dados os vetores u=(13, 45) e v=(-1,2) :
(b) (1,0 ponto) Mostre que w=(-raiz55, 2 raiz55) é um vetor unitário na direção do vetor v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos os vetores u = (13, 45) e v = (-1, 2). A questão (b) pede para mostrar que o vetor w = (-raiz55, 2 raiz55) é um vetor unitário na direção de v. Isso envolve dois conceitos principais da álgebra vetorial:
  1. Vetor Unitário: Um vetor com magnitude (ou comprimento) igual a 1.
  2. Direção de um Vetor: Dois vetores estão na mesma direção se um é um múltiplo escalar do outro.
Vamos resolver passo a passo para verificar se w satisfaz essas condições.

Passo 2

Verificando se w é um vetor unitário:
Para ser um vetor unitário, w deve ter magnitude igual a 1. A magnitude de um vetor w = (w1, w2) é calculada pela fórmula:
|w| = raizw1^2 + w2^2
Vamos calcular a magnitude de w = (-raiz55, 2 raiz55):
|w| = raiz(-raiz55)^2 + (2 raiz55)^2 = raiz525 + 2025 = raiz2525 = raiz1 = 1
Como a magnitude de w é 1, ela é realmente um vetor unitário.

Passo 3

Verificando se w está na direção de v:
Para que w esteja na direção de v, w deve ser um múltiplo escalar de v. Isso significa que existe um número real k tal que:
w = k cdot v
Vamos encontrar k:
Dado v = (-1, 2) e w = (-raiz55, 2 raiz55), temos:
-raiz55 = k cdot (-1) Rightarrow k = raiz55
2 raiz55 = k cdot 2 Rightarrow k = raiz55
O valor de k é consistente em ambas as componentes, o que confirma que w é um múltiplo escalar de v. Portanto, w está na mesma direção de v.

Resposta

O vetor w = (-raiz55, 2 raiz55) é um vetor unitário na direção do vetor v, pois possui magnitude igual a 1 e é um múltiplo escalar de v.

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Dados os vetores u=(13, 45) e v=(-1,2) :
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(d) passa pelos pontos P=(2,1,0), Q=(1,4,2) e R=(0,2,2);