( 1,5 pontos) Determine um ponto P, no eixo 0 y, equidistante dos pontos A(2,2) e B(2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria! A gente precisa achar um ponto que está no eixo e que está na mesma distância dos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de distância entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, como está no eixo , sua coordenada é 0. Então, podemos representar como , onde é o que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e :
Como está equidistante de e , as distâncias e são iguais.

Passo 4

Vamos calcular PA = raiz(2 - 0)^2 + (2 - y)^2 = raiz4 + (2 - y)^2 usando as coordenadas de e :

Passo 5

Agora, vamos calcular PB = raiz(2 - 0)^2 + (0 - y)^2 = raiz4 + y^2 usando as coordenadas de e :

Passo 6

Como raiz4 + (2 - y)^2 = raiz4 + y^2 , podemos igualar as duas expressões:
4 + (2 - y)^2 = 4 + y^2
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Simplificando a equação:
(2 - y)^2 = y^2
Expandindo o termo ao quadrado:
4 - 4y + y^2 = y^2
Subtraindo 4 - 4y = 0 de ambos os lados:

Passo 8

Resolvendo para 4 = 4y implies y = 1 :

Resposta

O ponto no eixo que está equidistante de e é .

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