Determine a equação do plano que contém os pontos A=(1,2,2) e B=(3,1,2) e é perpendicular ao plano pi: 2 x+y-z+8=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço 3D, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e perpendicularidade entre planos.
O que vamos precisar: Vectors, produto escalar e as condições que definem a perpendicularidade entre dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos AB = B - A = (3-1, 1-2, 2-2) = (2, -1, 0) e . Esse vetor será paralelo ao nosso plano.

Passo 3

Sabemos que o plano que queremos é perpendicular ao plano npi = (2, 1, -1) . O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de , e :

Passo 4

Agora, vamos chamar o vetor normal do nosso plano de n cdot AB = 0 . Como nosso plano contém os pontos n cdot npi = 0 e , o vetor está no plano e, portanto, é perpendicular ao vetor normal :
Além disso, como os planos são perpendiculares, os vetores normais também são perpendiculares:

Passo 5

Vamos montar as equações a partir desses produtos escalares:
  1. Para a cdot 2 + b cdot (-1) + c cdot 0 = 0 :
2a - b = 0
a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot (-1) = 0
  1. Para 2a + b - c = 0 :

Passo 6

Agora, resolvendo esse sistema de equações:
2a - b = 0 2a + b - c = 0
Da primeira equação, temos 2a + 2a - c = 0 . Substituindo na segunda equação:
4a - c = 0
c = 4a

Passo 7

Então, o vetor normal n = (a, 2a, 4a) = a(1, 2, 4) pode ser expresso como:
n = (1, 2, 4)
Podemos escolher para simplificar:

Passo 8

Agora, usando a forma geral da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde 1(x - 1) + 2(y - 2) + 4(z - 2) = 0 é um ponto no plano, vamos usar o ponto x - 1 + 2y - 4 + 4z - 8 = 0 :
x + 2y + 4z - 13 = 0
Expandindo:

Resposta

A equação do plano é:
x + 2y + 4z - 13 = 0

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Dados os vetores u=(13, 45) e v=(-1,2) :
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Dados os vetores u=(13, 45) e v=(-1,2) :
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