Determine a equação do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que é perpendicular ao plano .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço 3D, especificamente sobre equações de planos, vetores normais e perpendicularidade entre planos.
O que vamos precisar: Vectors, produto escalar e as condições que definem a perpendicularidade entre dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que liga os pontos e . Esse vetor será paralelo ao nosso plano.
Passo 3
Sabemos que o plano que queremos é perpendicular ao plano . O vetor normal desse plano é dado pelos coeficientes de , e :
Passo 4
Agora, vamos chamar o vetor normal do nosso plano de . Como nosso plano contém os pontos e , o vetor está no plano e, portanto, é perpendicular ao vetor normal :
Além disso, como os planos são perpendiculares, os vetores normais também são perpendiculares:
Passo 5
Vamos montar as equações a partir desses produtos escalares:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação: