Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(d) passa pelos pontos P=(2,1,0), Q=(1,4,2) e R=(0,2,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e .
Conteúdo envolvido: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a equação geral do plano.
O que vamos precisar: Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano e de um ponto por onde o plano passa. Vamos usar os três pontos dados para encontrar esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Isso significa que eles conectam os pontos dados. Vamos calcular os vetores AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) e PQ = Q - P = (1 - 2, 4 - 1, 2 - 0) = (-1, 3, 2) .
A fórmula para encontrar um vetor que vai do ponto PR = R - P = (0 - 2, 2 - 1, 2 - 0) = (-2, 1, 2) ao ponto é:
Então,

Passo 3

Agora que temos os vetores n = i & j & k -1 & 3 & 2 -2 & 1 & 2 e n = i(3 cdot 2 - 2 cdot 1) - j(-1 cdot 2 - 2 cdot -2) + k(-1 cdot 1 - 3 cdot -2) que estão no plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores.
Produto vetorial: É uma operação que recebe dois vetores no espaço e retorna um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.
A fórmula do produto vetorial n = i(6 - 2) - j(-2 + 4) + k(-1 + 6) é:
n = i(4) - j(2) + k(5)
Calculando o determinante:
n = (4, -2, 5)
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 4(x - 2) - 2(y - 1) + 5(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação:
4x - 8 - 2y + 2 + 5z = 0
4x - 2y + 5z - 6 = 0
Podemos também escrever essa equação de uma forma mais padrão:
4x - 2y + 5z = 6

Resposta

A equação geral do plano que passa pelos pontos 4x - 2y + 5z = 6 , e é

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pi1:l x=10-2 h+t y=7+3 h z=-2+h-t pi2: 3 x+y+3 z-12=0