Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(d) passa pelos pontos e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e .
Conteúdo envolvido: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a equação geral do plano.
O que vamos precisar: Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano e de um ponto por onde o plano passa. Vamos usar os três pontos dados para encontrar esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Isso significa que eles conectam os pontos dados. Vamos calcular os vetores e .
A fórmula para encontrar um vetor que vai do ponto ao ponto é:
Então,
Passo 3
Agora que temos os vetores e que estão no plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores.
Produto vetorial: É uma operação que recebe dois vetores no espaço e retorna um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais.
A fórmula do produto vetorial é:
Calculando o determinante:
n = (4, -2, 5)
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 4(x - 2) - 2(y - 1) + 5(z - 0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação:
4x - 8 - 2y + 2 + 5z = 0
4x - 2y + 5z - 6 = 0
Podemos também escrever essa equação de uma forma mais padrão:
4x - 2y + 5z = 6
Resposta
A equação geral do plano que passa pelos pontos 4x - 2y + 5z = 6 , e é