1. Considere a matriz da transformação T :
    [T]
    =[lll2 & 0 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0]
    b) Dé a transformação inversa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz de transformação e pede para encontrarmos a transformação inversa, ou seja, . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz quadrada, verificando se ela é invertível e, se for, usando métodos como o cálculo do determinante e da matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .

Passo 3

A matriz [T] = 2 & 0 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 é:
det([T]) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde são os elementos da primeira linha, da segunda e da terceira.

Passo 4

Aplicando os valores da matriz det([T]) = 2(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0(1 cdot 1 - 0 cdot 1) :
det([T]) = 2(0 - 1) - 0(0 - 1) + 0(1 - 0) = 2(-1) - 0(-1) + 0(1) = -2
Simplificando:

Passo 5

Como o determinante é (diferente de zero), a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a matriz adjunta e multiplicar pelo inverso do determinante para encontrar .

Passo 6

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C11 = 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1 .
Primeiro, os cofatores:
C12 = - 1 & 1 1 & 0 = -[(1)(0) - (1)(1)] = -(-1) = 1
C13 = 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
C21 = - 0 & 0 1 & 0 = -[(0)(0) - (0)(1)] = 0
C22 = 2 & 0 1 & 0 = (2)(0) - (0)(1) = 0
C23 = - 2 & 0 1 & 1 = -[(2)(1) - (0)(1)] = -2
C31 = 0 & 0 0 & 1 = (0)(1) - (0)(0) = 0
C32 = - 2 & 0 1 & 1 = -[(2)(1) - (0)(1)] = -2
C33 = 2 & 0 1 & 0 = (2)(0) - (0)(1) = 0

Passo 7

Agora, construímos a matriz de cofatores:
Cof[T] = -1 & 1 & 1 0 & 0 & -2 0 & -2 & 0
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
Adj([T]) = -1 & 0 & 0 1 & 0 & -2 1 & -2 & 0

Passo 8

Finalmente, a matriz inversa [T]^-1 = 1det([T]) cdot Adj([T]) é dada por:
[T]^-1 = 1-2 cdot -1 & 0 & 0 1 & 0 & -2 1 & -2 & 0 = 12 & 0 & 0 -12 & 0 & 1 -12 & 1 & 0
Substituindo os valores:

Resposta

A transformação inversa [T]^-1 = 12 & 0 & 0 -12 & 0 & 1 -12 & 1 & 0 é representada pela seguinte matriz:

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