Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do R^3 ? Justifique.
a. S=(x, y, z) in R^3 mid x in Z
b. S=(x, y, z) in R^3 mid y in R backslash Q
c. S=(x, y, z) in R^3 mid a x+b y+c z=0, a, b, c in R
d. S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y+z=0
e. S=(x, y, z) in R^3 mid x <= y <= z

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! O que a gente precisa saber aqui é sobre subespaços vetoriais no espaço . Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar no conjunto.
  2. É fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. É fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada um dos subconjuntos listados (a, b, c, d, e) para ver se eles são subespaços vetoriais de .

Passo 2

a.
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero é e que é um número inteiro. Então, o vetor zero está em .
Agora, testamos a fechadura para adição. Vamos pegar dois vetores em , por exemplo, e . Se somarmos esses vetores, teremos . O componente ainda é inteiro, então está fechado para adição.
Por último, a fechadura para multiplicação por escalar. Se multiplicarmos por um escalar qualquer, digamos , teremos . Se não for inteiro, não será inteiro, então o resultado não está mais em .
Como não satisfaz a fechadura para multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial.

Passo 3

b.
Primeiro, o vetor zero é . Aqui, , que é um número racional ( ), então o vetor zero não está em .
Já que o vetor zero não pertence ao conjunto, não é um subespaço vetorial.

Passo 4

c. a x1 + b y1 + c z1 = 0 a x2 + b y2 + c z2 = 0
Aqui, a (x1 + x2) + b (y1 + y2) + c (z1 + z2) = 0 + 0 = 0 , a (k x) + b (k y) + c (k z) = k (a x + b y + c z) = k cdot 0 = 0 e são constantes reais. Vamos verificar as três condições:
  1. Vetor zero: satisfaz a equação , então está em .
  2. Fechadura para adição: Se e estão em , então:
    Somando essas duas equações:
    Assim, também está em .
  3. Fechadura para multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então:
    Portanto, também está em .
Como todas as condições são satisfeitas, é um subespaço vetorial.

Passo 5

d. (1)^2 + (-1) + 0 = 1 -1 + 0 = 0 (2)^2 + (-2) + 0 = 4 -2 + 0 = 2 neq 0
Primeiro, verificamos o vetor zero: (3)^2 + (-3) + 0 = 9 -3 = 6 neq 0 satisfaz , então está em .
Agora, testamos a fechadura para adição. Vamos pegar dois vetores em , por exemplo, e :
A soma é , e verificando:
Então, a soma não está em .
Como não satisfaz a fechadura para adição, não é um subespaço vetorial.

Passo 6

e.
Primeiro, o vetor zero satisfaz , então está em .
Agora, vamos ver a fechadura para adição. Pegue dois vetores em , por exemplo, e . A soma é , e , então está em .
Porém, vamos verificar a fechadura para multiplicação por escalar. Tome o vetor e multiplique por : . Agora, não é verdade (porque ), então não está em .
Como não satisfaz a fechadura para multiplicação por escalar, não é um subespaço vetorial.

Resposta

Apenas o item c define um subespaço vetorial de .

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