Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
? Justifique.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! O que a gente precisa saber aqui é sobre subespaços vetoriais no espaço
. Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
precisa estar no conjunto. - É fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- É fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada um dos subconjuntos listados (a, b, c, d, e) para ver se eles são subespaços vetoriais de
.
Passo 2
a.
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero é
e
que é um número inteiro. Então, o vetor zero está em
.
Agora, testamos a fechadura para adição. Vamos pegar dois vetores em
, por exemplo,
e
. Se somarmos esses vetores, teremos
. O componente
ainda é inteiro, então está fechado para adição.
Por último, a fechadura para multiplicação por escalar. Se multiplicarmos
por um escalar qualquer, digamos
, teremos
. Se
não for inteiro,
não será inteiro, então o resultado não está mais em
.
Como não satisfaz a fechadura para multiplicação por escalar,
não é um subespaço vetorial.
Passo 3
b.
Primeiro, o vetor zero é
. Aqui,
, que é um número racional (
), então o vetor zero não está em
.
Já que o vetor zero não pertence ao conjunto,
não é um subespaço vetorial.
Passo 4
c.
Aqui,
,
e
são constantes reais. Vamos verificar as três condições:
-
Vetor zero:
satisfaz a equação , então está em . -
Fechadura para adição: Se
e estão em , então: Somando essas duas equações:Assim,também está em . -
Fechadura para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar real, então: Portanto,também está em .
Como todas as condições são satisfeitas,
é um subespaço vetorial.
Passo 5
d.
Primeiro, verificamos o vetor zero:
satisfaz
, então está em
.
Agora, testamos a fechadura para adição. Vamos pegar dois vetores em
, por exemplo,
e
:
A soma é
, e verificando:
Então, a soma não está em
.
Como não satisfaz a fechadura para adição,
não é um subespaço vetorial.
Passo 6
e.
Primeiro, o vetor zero
satisfaz
, então está em
.
Agora, vamos ver a fechadura para adição. Pegue dois vetores em
, por exemplo,
e
. A soma é
, e
, então está em
.
Porém, vamos verificar a fechadura para multiplicação por escalar. Tome o vetor
e multiplique por
:
. Agora,
não é verdade (porque
), então
não está em
.
Como não satisfaz a fechadura para multiplicação por escalar,
não é um subespaço vetorial.
Resposta
Apenas o item c define um subespaço vetorial de
.