Dados os vetores u=(3,-1,1), v=(1,2,2) e w=(2,0,-3), calcular
ll a) (u, v, w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores:
  • u = (3, -1, 1)
  • v = (1, 2, 2)
  • w = (2, 0, -3)
A gente precisa calcular (u, v, w), que é chamado de produto misto ou produto escalar triplo. Esse cálculo nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos v e w, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
v times w = ( vy wz - vz wy, , vz wx - vx wz, , vx wy - vy wx )
Vamos aplicar isso aos vetores v e w.

Passo 3

Calculando cada componente do produto vetorial v times w:
  • Componente x:
    vy wz - vz wy = 2 times (-3) - 2 times 0 = -6 - 0 = -6
  • Componente y:
    vz wx - vx wz = 2 times 2 - 1 times (-3) = 4 + 3 = 7
  • Componente z:
    vx wy - vy wx = 1 times 0 - 2 times 2 = 0 - 4 = -4
Então, o produto vetorial é:
v times w = (-6, 7, -4)

Passo 4

Agora que temos v times w, vamos calcular o produto escalar entre u e esse vetor resultante. O produto escalar entre dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz) é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Vamos aplicar isso para u e v times w.

Passo 5

Calculando o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (-6, 7, -4) = 3 times (-6) + (-1) times 7 + 1 times (-4)
Fazendo as multiplicações:
= -18 - 7 - 4 = -29

Resposta

O valor de (u, v, w) é -29.

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