Seja W o conjunto de todos os vetores da forma [cs+3 t s-t 2 s-t 4 t]. Mostre que W é um subespaço do R^4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto s + 3t s - t 2s - t 4t formado por todos os vetores que podem ser escritos na forma:
onde e são números reais. O objetivo é mostrar que é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de é um subespaço se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero
O vetor zero em 0 0 0 0 é:
s + 3t = 0 s - t = 0 2s - t = 0 4t = 0
Para que esse vetor esteja em , devemos encontrar valores de e que satisfaçam:
Resolvendo a última equação, implica . Substituindo na segunda equação: então . Assim, quando e , todos os componentes são zero. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u = s1 + 3t1 s1 - t1 2s1 - t1 4t1 , v = s2 + 3t2 s2 - t2 2s2 - t2 4t2 :
u + v = (s1 + s2) + 3(t1 + t2) (s1 + s2) - (t1 + t2) 2(s1 + s2) - (t1 + t2) 4(t1 + t2)
Agora, somamos s + 3t s - t 2s - t 4t :
Note que podemos definir novos parâmetros e . Assim, o vetor resultante também tem a forma:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer em u = s + 3t s - t 2s - t 4t :
ku = k(s + 3t) k(s - t) k(2s - t) k(4t) = (ks) + 3(kt) ks - kt 2(ks) - kt 4(kt)
E um escalar s' + 3t' s' - t' 2s' - t' 4t' . Multiplicamos por :
Podemos definir novos parâmetros e . Assim, o vetor resultante também tem a forma:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é de fato um subespaço de .

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