Seja o conjunto de todos os vetores da forma . Mostre que W é um subespaço do R^4.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto s + 3t s - t 2s - t 4t formado por todos os vetores que podem ser escritos na forma:
onde e são números reais. O objetivo é mostrar que é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de é um subespaço se satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero
O vetor zero em 0 0 0 0 é:
s + 3t = 0 s - t = 0 2s - t = 0 4t = 0
Para que esse vetor esteja em , devemos encontrar valores de e que satisfaçam:
Resolvendo a última equação, implica . Substituindo na segunda equação: então . Assim, quando e , todos os componentes são zero. Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u = s1 + 3t1 s1 - t1 2s1 - t1 4t1 , v = s2 + 3t2 s2 - t2 2s2 - t2 4t2 :