Dados os vetores u=(-1,3,2), v=(1,5,-2) e w=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
d) (v times u) times w

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem três vetores no espaço: u=(-1,3,2), v=(1,5,-2) e w=(-7,3,1). A tarefa é calcular as coordenadas do vetor (v times u) times w. Para isso, vamos usar operações de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial. Vou te mostrar passo a passo como resolver isso de forma simples!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times u. O produto vetorial entre dois vetores a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aplicando isso aos vetores v e u:
v times u = (5 cdot 2 - (-2) cdot 3, (-2) cdot (-1) - 1 cdot 2, 1 cdot 3 - 5 cdot (-1))
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: 5 cdot 2 - (-2) cdot 3 = 10 + 6 = 16
  • Segunda componente: (-2) cdot (-1) - 1 cdot 2 = 2 - 2 = 0
  • Terceira componente: 1 cdot 3 - 5 cdot (-1) = 3 + 5 = 8
Então,
v times u = (16, 0, 8)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial do resultado acima com o vetor w, ou seja, (v times u) times w. Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aqui, a = (16, 0, 8) e b = (-7, 3, 1). Aplicando a fórmula:
(v times u) times w = (0 cdot 1 - 8 cdot 3, 8 cdot (-7) - 16 cdot 1, 16 cdot 3 - 0 cdot (-7))
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: 0 cdot 1 - 8 cdot 3 = 0 - 24 = -24
  • Segunda componente: 8 cdot (-7) - 16 cdot 1 = -56 - 16 = -72
  • Terceira componente: 16 cdot 3 - 0 cdot (-7) = 48 - 0 = 48
Então,
(v times u) times w = (-24, -72, 48)

Resposta

As coordenadas do vetor (v times u) times w são (-24, -72, 48).

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