Dados dois vetores
e
, achar um vetor
, sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo
, e que verifica as seguintes relações:
.
RESP:
RESP:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem dois vetores,
e
. Queremos encontrar um vetor
que seja perpendicular ao eixo
e que satisfaça as relações de produto escalar
e
.
Matéria envolvida: Álgebra Vetorial, especificamente produtos escalares e perpendicularidade.
O que vamos precisar: Entender o que significa ser perpendicular ao eixo
e como usar o produto escalar para montar equações que nos ajudem a encontrar as componentes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa
ser perpendicular ao eixo
. O eixo
é representado pelo vetor
, já que ele aponta apenas na direção do Z. Se
é perpendicular a esse eixo, isso significa que não tem componente na direção do Z. Ou seja, a terceira coordenada de
é zero.
Então, podemos escrever
, onde
e
são as componentes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dos produtos escalares. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos aplicar isso para as duas relações que a
precisa satisfazer.
Passo 4
Primeira relação:
. Vamos calcular:
Então, temos a equação:
Passo 5
Segunda relação:
. Vamos calcular:
Então, temos a equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver pela substituição ou pela combinação. Vamos usar a combinação aqui.
Multiplicando a equação (2) por 3 para facilitar a eliminação:
Agora subtraímos a equação (1) da equação (3):
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar
:
Resposta
Portanto, o vetor
que satisfaz todas as condições é: