Dados dois vetores a=(3,-1,5) e b=(1,2,-3), achar um vetor x, sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo O Z, e que verifica as seguintes relações: x bul<=t a=9, e x cdot b=-4.
RESP: x=(2,-3,0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem dois vetores, a = (3, -1, 5) e b = (1, 2, -3). Queremos encontrar um vetor x que seja perpendicular ao eixo OZ e que satisfaça as relações de produto escalar x cdot a = 9 e x cdot b = -4.
Matéria envolvida: Álgebra Vetorial, especificamente produtos escalares e perpendicularidade.
O que vamos precisar: Entender o que significa ser perpendicular ao eixo OZ e como usar o produto escalar para montar equações que nos ajudem a encontrar as componentes de x.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa x ser perpendicular ao eixo OZ. O eixo OZ é representado pelo vetor (0, 0, 1), já que ele aponta apenas na direção do Z. Se x é perpendicular a esse eixo, isso significa que não tem componente na direção do Z. Ou seja, a terceira coordenada de x é zero.
Então, podemos escrever x = (x, y, 0), onde x e y são as componentes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dos produtos escalares. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Vamos aplicar isso para as duas relações que a x precisa satisfazer.

Passo 4

Primeira relação: x cdot a = 9. Vamos calcular:
(x, y, 0) cdot (3, -1, 5) = 3x + (-1)y + 5 times 0 = 3x - y = 9
Então, temos a equação:
3x - y = 9 (1)

Passo 5

Segunda relação: x cdot b = -4. Vamos calcular:
(x, y, 0) cdot (1, 2, -3) = 1x + 2y + (-3) times 0 = x + 2y = -4
Então, temos a equação:
x + 2y = -4 (2)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3x - y = 9 (1) x + 2y = -4 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver pela substituição ou pela combinação. Vamos usar a combinação aqui.
Multiplicando a equação (2) por 3 para facilitar a eliminação:
3(x + 2y) = 3(-4) 3x + 6y = -12 (3)
Agora subtraímos a equação (1) da equação (3):
(3x + 6y) - (3x - y) = -12 - 9 3x + 6y - 3x + y = -21 7y = -21 y = -3

Passo 7

Agora que encontramos y = -3, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar x:
x + 2(-3) = -4 x - 6 = -4 x = -4 + 6 x = 2

Resposta

Portanto, o vetor x que satisfaz todas as condições é:
x = (2, -3, 0)

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