Determine a equação do plano que é perpendicular ao plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação de um plano que é perpendicular ao plano xy. Aqui estamos trabalhando com Geometria Espacial, especificamente com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os planos são definidos e o que significa eles serem perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
a x + b y + c z = d
Onde , e são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano, e é uma constante.

Passo 3

O plano xy tem a equação:
z = 0
Podemos reescrever isso na forma geral:
0 x + 0 y + 1 z = 0
Então, o vetor normal ao plano xy é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar um plano que seja perpendicular ao plano xy. Para que dois planos sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares entre si. Ou seja, o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero.

Passo 5

Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos encontrar de n1 cdot n2 = 0 . A condição de perpendicularidade é:
(0, 0, 1) cdot (a, b, c) = 0 times a + 0 times b + 1 times c = c = 0
Substituindo os valores:
Isso significa que .

Passo 6

Com a x + b y = d , a equação geral do plano fica:
Isso representa qualquer plano que seja perpendicular ao plano xy. Os coeficientes e podem ser quaisquer números, desde que não ambos sejam zero ao mesmo tempo (para que o plano seja bem definido).

Resposta

A equação de um plano perpendicular ao plano xy é da forma:
a x + b y = d
Onde e são constantes reais e é uma constante.

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