Seja V=R^3 com produto escalar usual. Se S=(x, x, 0) ; x in R, determine S^perp.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem um espaço vetorial com o produto escalar padrão. A gente precisa encontrar o complemento ortogonal de um conjunto . Isso significa que vamos descobrir todos os vetores em que são perpendiculares a todos os vetores em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de . Ou seja, se está em , então o produto escalar de com qualquer vetor de deve ser zero.

Passo 3

Vamos representar um vetor qualquer em . Como , podemos escrever .

Passo 4

Agora, vamos representar um vetor genérico que está em . Para que esteja em , o produto escalar deve ser igual a zero para todo .

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
u cdot v = (x, x, 0) cdot (a, b, c) = x cdot a + x cdot b + 0 cdot c = x(a + b)
Como isso deve ser zero para todo , a única maneira de isso acontecer é se o coeficiente de for zero.

Passo 6

Portanto, temos a equação:
a + b = 0
Isso significa que . Não há restrição para , então pode ser qualquer número real.

Passo 7

Assim, todo vetor v = (a, -a, c) onde a, c in R em tem a forma:

Passo 8

Podemos escrever S^perp = (a, -a, c) ; a, c in R como:
S^perp = a(1, -1, 0) + c(0, 0, 1) ; a, c in R
Ou, de forma mais elegante, usando parâmetros:

Resposta

O complemento ortogonal é .

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