Seja
com produto escalar usual. Se
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem um espaço vetorial
com o produto escalar padrão. A gente precisa encontrar o complemento ortogonal de um conjunto
. Isso significa que vamos descobrir todos os vetores em
que são perpendiculares a todos os vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal
. Ele é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a cada vetor de
. Ou seja, se
está em
, então o produto escalar de
com qualquer vetor de
deve ser zero.
Passo 3
Vamos representar um vetor qualquer em
. Como
, podemos escrever
.
Passo 4
Agora, vamos representar um vetor genérico
que está em
. Para que
esteja em
, o produto escalar
deve ser igual a zero para todo
.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Como isso deve ser zero para todo
, a única maneira de isso acontecer é se o coeficiente de
for zero.
Passo 6
Portanto, temos a equação:
Isso significa que
. Não há restrição para
, então
pode ser qualquer número real.
Passo 7
Assim, todo vetor
em
tem a forma:
Passo 8
Podemos escrever
como:
Ou, de forma mais elegante, usando parâmetros:
Resposta
O complemento ortogonal é
.