Dados os vetores u=(3,-1,-2) e v=(2,4,-1), w=(-1,0,1), os resultados de (uxv).w e u.(vxw) são respectivamente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os resultados de duas expressões envolvendo os vetores $ \mathbf{u} = (3, -1, -2) $, $ \mathbf{v} = (2, 4, -1) $ e $ \mathbf{w} = (-1, 0, 1) $. Estamos trabalhando com produtos vetoriais e escalares, que fazem parte da Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois o produto escalar desses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $, que é representado por $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Substituindo os valores de $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com o vetor $ \mathbf{w} $, ou seja, $ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} $. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando-os. A fórmula é:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $, representado por $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $:
Substituindo os valores de $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o produto escalar de $ \mathbf{u} $ com esse resultado, ou seja, $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $:
Resposta
Os resultados de $ (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} $ e $ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $ são ambos iguais a 5.