Uma equação separável é qualquer equação diferencial que pode ser escrita da forma N(y)dy=M(x)dx. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta a correta solução para Dy/Dx=X3/Y2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. Isso significa que conseguimos separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração para chegar na solução.

Passo 2

Começamos com a equação dada:
dydx = x^3y^2
Nossa missão aqui é separar os termos com $ y $ dos termos com $ x $. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^2 $ e por $ dx $ para isolar as variáveis:
y

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
integral y^2, dy = integral x^3, dx

Passo 4

Fazendo as integrações, temos:
y^33 = x^44 + C
Onde $ C $ é a constante de integração que aparece após a integração.

Passo 5

Para deixar a solução mais clara, podemos isolar $ y $. Multiplicando ambos os lados por 3 e depois tirando a raiz cúbica, obtemos:
y
Como $ C $ é uma constante arbitrária, podemos simplificar para:
y = ( 34x^4 + 3C )^13

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( x^44 + C )^13

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