Uma equação separável é qualquer equação diferencial que pode ser escrita da forma N(y)dy=M(x)dx. Sabendo disso, assinale a alternativa que apresenta a correta solução para Dy/Dx=X3/Y2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. Isso significa que conseguimos separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração para chegar na solução.
Passo 2
Começamos com a equação dada:
Nossa missão aqui é separar os termos com $ y $ dos termos com $ x $. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^2 $ e por $ dx $ para isolar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado:
Passo 4
Fazendo as integrações, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que aparece após a integração.
Passo 5
Para deixar a solução mais clara, podemos isolar $ y $. Multiplicando ambos os lados por 3 e depois tirando a raiz cúbica, obtemos:
Como $ C $ é uma constante arbitrária, podemos simplificar para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: