Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1,5V, um resistor de 20Ω, um capacitor de 10^−3F e um indutor de 0,1H todos conectados em série. Determine a corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito. Respostas:
i(t)=0,15e−100tA.
i(t)=0,015e−100tA.
i(t)=150e−100tA.
i(t)=1,5e−100tA.
i(t)=15e−100tA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC em série com uma fonte de 1,5V, um resistor de 20Ω, um capacitor de 10^-3 F e um indutor de 0,1 H. A pergunta é: qual é a corrente i(t) que circula nesse circuito ao longo do tempo, sabendo que inicialmente o capacitor está totalmente descarregado e não tem corrente fluindo. Para resolver isso, vamos mexer com as equações dos circuitos elétricos envolvendo resistores, capacitores e indutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a lei de Kirchhoff das tensões para circuitos em série, que diz que a soma das quedas de tensão em cada componente é igual à tensão da fonte. Então, temos:
V = VR + VL + VC
Onde:
- VR = R cdot i(t) é a tensão no resistor,
- VL = L cdot di(t)dt é a tensão no indutor,
- VC = 1C integral i(t) , dt é a tensão no capacitor.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação de Kirchhoff, temos:
V = R cdot i(t) + L cdot di(t)dt + 1C integral i(t) , dt
Para resolver essa equação diferencial, vamos diferenciar ambos os lados com relação ao tempo para eliminar a integral:
0 = R cdot di(t)dt + L cdot d^2i(t)dt^2 + 1C i(t)
Reorganizando:
L cdot d^2i(t)dt^2 + R cdot di(t)dt + 1C i(t) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • L = 0,1 , H
  • R = 20 , Omega
  • C = 10^-3 , F
A equação fica:
0,1 cdot d^2i(t)dt^2 + 20 cdot di(t)dt + 1000 cdot i(t) = 0
Dividindo tudo por 0,1 para simplificar:
d^2i(t)dt^2 + 200 cdot di(t)dt + 10,000 cdot i(t) = 0

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica:
r^2 + 200r + 10,000 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = -200 pm raiz200^2 - 4 cdot 1 cdot 10,0002
r = -200 pm raiz40,000 - 40,0002
r = -2002 = -100
Como temos uma raiz dupla, a solução geral é:
i(t) = (A + Bt) e^-100t

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B. Sabemos que inicialmente, i(0) = 0, então:
0 = (A + B cdot 0) e^0
A = 0
A derivada da corrente é usada para encontrar B. A condição inicial da derivada $ \frac{di(t)}{dt} $ pode ser obtida da equação original. Quando $ t = 0 $, a taxa de variação da corrente é $ \frac{V}{L} = \frac{1,5}{0,1} = 15 , A/s $:
di(t)dt
Em $ t = 0 $:
t = 0
VL = 1,50,1 = 15 , A/s

Resposta

Assim, a corrente que circula pelo circuito é:
i(t) = 15, e^-100t , A

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