Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1,5V, um resistor de 20Ω, um capacitor de 10^−3F e um indutor de 0,1H todos conectados em série. Determine a corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito. Respostas:
i(t)=0,15e−100tA.
i(t)=0,015e−100tA.
i(t)=150e−100tA.
i(t)=1,5e−100tA.
i(t)=15e−100tA.
i(t)=0,15e−100tA.
i(t)=0,015e−100tA.
i(t)=150e−100tA.
i(t)=1,5e−100tA.
i(t)=15e−100tA.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC em série com uma fonte de 1,5V, um resistor de 20Ω, um capacitor de
F e um indutor de 0,1 H. A pergunta é: qual é a corrente
que circula nesse circuito ao longo do tempo, sabendo que inicialmente o capacitor está totalmente descarregado e não tem corrente fluindo. Para resolver isso, vamos mexer com as equações dos circuitos elétricos envolvendo resistores, capacitores e indutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei de Kirchhoff das tensões para circuitos em série, que diz que a soma das quedas de tensão em cada componente é igual à tensão da fonte. Então, temos:
Onde:
-
-
-
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação de Kirchhoff, temos:
Para resolver essa equação diferencial, vamos diferenciar ambos os lados com relação ao tempo para eliminar a integral:
Reorganizando:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
A equação fica:
Dividindo tudo por 0,1 para simplificar:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B. Sabemos que inicialmente,
, então:
A derivada da corrente é usada para encontrar B. A condição inicial da derivada $ \frac{di(t)}{dt} $ pode ser obtida da equação original. Quando $ t = 0 $, a taxa de variação da corrente é $ \frac{V}{L} = \frac{1,5}{0,1} = 15 , A/s $:
Em $ t = 0 $:
Resposta
Assim, a corrente que circula pelo circuito é: