Dados os vetores e , verifique se são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos quatro vetores: , , e . O objetivo é descobrir se esses vetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa dependência e independência linear e usar alguns conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são dependência e independência linear. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja, se a única solução para for , então os vetores são independentes. Se existir alguma combinação onde pelo menos um coeficiente não é zero, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar isso de forma prática, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 4
Agora, vamos analisar o posto dessa matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de vetores, eles são independentes. Caso contrário, são dependentes.
Passo 5
Observando a matriz , vemos que ela tem 3 linhas e 4 colunas. Sabemos que o posto não pode ser maior que o menor entre o número de linhas e colunas, ou seja, no máximo 3. Mas temos 4 vetores, o que já sugere que há mais vetores do que o espaço pode “suportar”, indicando que provavelmente há dependência.
Além disso, calculando o determinante de uma matriz quadrada formada por qualquer 3 vetores, podemos verificar se são independentes. Mas como temos 4 vetores em um espaço de 3 dimensões (), pelo teorema da dimensão, eles devem ser linearmente dependentes.