que sendo

Passo 1

Beleza, galera! O desafio aqui é provar que o determinante da matriz é igual a zero. A matriz é dada por:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente propriedades de determinantes e manipulação de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é zero se as linhas (ou colunas) da matriz forem linearmente dependentes. Ou seja, se uma linha puder ser escrita como uma combinação linear das outras, o determinante é zero.

Passo 3

Vamos analisar as linhas da matriz . Observamos que cada elemento em uma linha está relacionado de forma trigonométrica com a variável . Isso sugere que podemos buscar uma relação trigonométrica que conecte as linhas.

Passo 4

Vamos considerar a segunda linha da matriz :
E a primeira linha multiplicada por :
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica para simplificar :
Substituindo isso na linha multiplicada por :

Passo 5

Agora, vamos comparar a segunda linha original com a linha que acabamos de obter:
Linha original 2:
Linha multiplicada:
Observe que podemos escrever a segunda linha como uma combinação da primeira linha multiplicada por e outra operação, o que mostra que elas são linearmente dependentes.

Passo 6

Como as linhas 1 e 2 são linearmente dependentes, isso significa que o determinante da matriz é zero.

Resposta

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(a)
(b)
©
(d) .