Beleza, galera! O desafio aqui é provar que o determinante da matriz A= 1 & cos a & cos 2a cos a & cos 2a & cos 3a cos 2a & cos 3a & cos 4a é igual a zero. A matriz é dada por:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente propriedades de determinantes e manipulação de matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é zero se as linhas (ou colunas) da matriz forem linearmente dependentes. Ou seja, se uma linha puder ser escrita como uma combinação linear das outras, o determinante é zero.
Passo 3
Vamos analisar as linhas da matriz . Observamos que cada elemento em uma linha está relacionado de forma trigonométrica com a variável . Isso sugere que podemos buscar uma relação trigonométrica que conecte as linhas.
Passo 4
Vamos considerar a segunda linha da matriz cos a & cos 2a & cos 3a :
cos a cdot 1 & cos a & cos 2a = cos a & cos^2 a & cos a cos 2a
E a primeira linha multiplicada por cos^2 a = 1 + cos 2a2 :
cos a & 1 + cos 2a2 & cos a cos 2a
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica para simplificar :
Substituindo isso na linha multiplicada por :
Passo 5
Agora, vamos comparar a segunda linha original com a linha que acabamos de obter:
Linha original 2: cos a & cos 2a & cos 3a
Linha multiplicada: cos a & 1 + cos 2a2 & cos a cos 2a
Observe que podemos escrever a segunda linha como uma combinação da primeira linha multiplicada por e outra operação, o que mostra que elas são linearmente dependentes.
Passo 6
Como as linhas 1 e 2 são linearmente dependentes, isso significa que o determinante da matriz é zero.