Mostre que o conjunto S=(x, 2 x) ; x in R é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Vamos ver se existe um valor de que faz com que .

Passo 3

Para x = 0 e 2x = 0 , temos que:
Isso acontece quando . Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto .

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .

Passo 5

Sejam (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2)) e dois vetores em . A soma desses vetores é:
Observamos que tem a mesma forma de elementos em , ou seja, com . Portanto, a soma está em .

Passo 6

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real , o resultado também deve estar em .

Passo 7

Seja (cx, c cdot 2x) = (cx, 2(cx)) um vetor em e um número real. A multiplicação por resulta em:
Novamente, isso tem a forma com , o que mostra que o vetor resultante também está em .

Resposta

Concluímos que o conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de . Portanto, é um subespaço vetorial de .

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