Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Vamos ver se existe um valor de que faz com que .
Passo 3
Para , temos que:
Isso acontece quando . Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto .
Passo 4
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Passo 5
Sejam e dois vetores em . A soma desses vetores é:
Observamos que tem a mesma forma de elementos em , ou seja, com . Portanto, a soma está em .
Passo 6
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real , o resultado também deve estar em .
Passo 7
Seja um vetor em e um número real. A multiplicação por resulta em:
Novamente, isso tem a forma com , o que mostra que o vetor resultante também está em .
Resposta
Concluímos que o conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de . Portanto, é um subespaço vetorial de .