Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos ver se existe um valor de
que faz com que
.
Passo 3
Para
, temos que:
Isso acontece quando
. Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Passo 5
Sejam
e
dois vetores em
. A soma desses vetores é:
Observamos que
tem a mesma forma de elementos em
, ou seja,
com
. Portanto, a soma está em
.
Passo 6
Por último, vamos verificar se o conjunto
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Passo 7
Seja
um vetor em
e
um número real. A multiplicação por
resulta em:
Novamente, isso tem a forma
com
, o que mostra que o vetor resultante também está em
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de
. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.