Mostre que o conjunto é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Vamos ver se existe um valor de que faz com que .

Passo 3

Para , temos que:
Isso acontece quando . Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto .

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .

Passo 5

Sejam e dois vetores em . A soma desses vetores é:
Observamos que tem a mesma forma de elementos em , ou seja, com . Portanto, a soma está em .

Passo 6

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real , o resultado também deve estar em .

Passo 7

Seja um vetor em e um número real. A multiplicação por resulta em:
Novamente, isso tem a forma com , o que mostra que o vetor resultante também está em .

Resposta

Concluímos que o conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de . Portanto, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço:
(a)
(b)
©
(d) .
Dados os vetores e , verifique se são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Encontre uma transformação linear tal que e .
Determine uma base para o subespaço