Escrever todos os produtos onde e são permutações de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente listar todos os produtos , onde e são permutações de , ou seja, do conjunto . Isso envolve trabalhar com o grupo de permutações , que tem 6 elementos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações nesse grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações de . As permutações de três elementos são:
  1. : a permutação identidade, que deixa tudo no lugar. Escrito em notação cíclica, é ou simplesmente .
  2. : troca o 1 pelo 2.
  3. : troca o 1 pelo 3.
  4. : troca o 2 pelo 3.
  5. : envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1.
  6. : envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.

Passo 3

Agora, vamos entender a composição de permutações, que é a operação . Compor duas permutações significa aplicar uma após a outra. Por exemplo, se tivermos , primeiro aplicamos e depois .
Vamos criar uma tabela onde listamos todas as possíveis composições entre essas 6 permutações.

Passo 4

Vamos montar a tabela de composição. As linhas representam a permutação e as colunas representam a permutação . O resultado na interseção será .

Passo 5

Agora, vamos preencher essa tabela realizando as composições uma a uma. Por exemplo:
  • e :
    Primeiro aplicamos : 1 vai para 3, 3 vai para 1, 2 fica.
    Depois aplicamos : 1 vai para 2, 2 vai para 1, 3 fica.
    Então, o resultado é .
Vamos fazer isso para todas as combinações.

Resposta

Após preencher todas as composições, os produtos onde e são permutações de são:
  • , , , , , .
Isso significa que, ao combinar todas as permutações possíveis de , obtemos novamente todos os elementos do grupo .

Exercícios relacionados

Escrever todos os produtos onde e são permutações de
Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
b)
que sendo
Dados os vetores e , verifique se são linearmente dependentes ou linearmente independentes.