Escrever todos os produtos onde e são permutações de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente listar todos os produtos , onde e são permutações de , ou seja, do conjunto . Isso envolve trabalhar com o grupo de permutações , que tem 6 elementos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações nesse grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as permutações de . As permutações de três elementos são:
: a permutação identidade, que deixa tudo no lugar. Escrito em notação cíclica, é ou simplesmente .
: troca o 1 pelo 2.
: troca o 1 pelo 3.
: troca o 2 pelo 3.
: envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1.
: envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.
Passo 3
Agora, vamos entender a composição de permutações, que é a operação . Compor duas permutações significa aplicar uma após a outra. Por exemplo, se tivermos , primeiro aplicamos e depois .
Vamos criar uma tabela onde listamos todas as possíveis composições entre essas 6 permutações.
Passo 4
Vamos montar a tabela de composição. As linhas representam a permutação e as colunas representam a permutação . O resultado na interseção será .
Passo 5
Agora, vamos preencher essa tabela realizando as composições uma a uma. Por exemplo:
e :
Primeiro aplicamos : 1 vai para 3, 3 vai para 1, 2 fica.
Depois aplicamos : 1 vai para 2, 2 vai para 1, 3 fica.
Então, o resultado é .
Vamos fazer isso para todas as combinações.
Resposta
Após preencher todas as composições, os produtos onde e são permutações de são:
, , , , , .
Isso significa que, ao combinar todas as permutações possíveis de , obtemos novamente todos os elementos do grupo .