Escrever todos os produtos
onde
e
são permutações de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente listar todos os produtos
, onde
e
são permutações de
, ou seja, do conjunto
. Isso envolve trabalhar com o grupo de permutações
, que tem 6 elementos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações nesse grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as permutações de
. As permutações de três elementos são:
-
: a permutação identidade, que deixa tudo no lugar. Escrito em notação cíclica, é ou simplesmente . -
: troca o 1 pelo 2. -
: troca o 1 pelo 3. -
: troca o 2 pelo 3. -
: envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1. -
: envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.
Passo 3
Agora, vamos entender a composição de permutações, que é a operação
. Compor duas permutações significa aplicar uma após a outra. Por exemplo, se tivermos
, primeiro aplicamos
e depois
.
Vamos criar uma tabela onde listamos todas as possíveis composições entre essas 6 permutações.
Passo 4
Vamos montar a tabela de composição. As linhas representam a permutação
e as colunas representam a permutação
. O resultado na interseção será
.
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Passo 5
Agora, vamos preencher essa tabela realizando as composições uma a uma. Por exemplo:
-
e :
Primeiro aplicamos: 1 vai para 3, 3 vai para 1, 2 fica.
Depois aplicamos: 1 vai para 2, 2 vai para 1, 3 fica.
Então, o resultado é.
Vamos fazer isso para todas as combinações.
Resposta
Após preencher todas as composições, os produtos
onde
e
são permutações de
são:
-
, , , , , .
Isso significa que, ao combinar todas as permutações possíveis de
, obtemos novamente todos os elementos do grupo
.