Escrever todos os produtos sigma odot varphi onde sigma e varphi são permutações de N3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente listar todos os produtos sigma odot varphi, onde sigma e varphi são permutações de N3, ou seja, do conjunto 1, 2, 3. Isso envolve trabalhar com o grupo de permutações S3, que tem 6 elementos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações nesse grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as permutações de N3. As permutações de três elementos são:
  1. e: a permutação identidade, que deixa tudo no lugar. Escrito em notação cíclica, é (1)(2)(3) ou simplesmente e.
  2. (1 2): troca o 1 pelo 2.
  3. (1 3): troca o 1 pelo 3.
  4. (2 3): troca o 2 pelo 3.
  5. (1 2 3): envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1.
  6. (1 3 2): envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.

Passo 3

Agora, vamos entender a composição de permutações, que é a operação odot. Compor duas permutações significa aplicar uma após a outra. Por exemplo, se tivermos sigma odot varphi, primeiro aplicamos varphi e depois sigma.
Vamos criar uma tabela onde listamos todas as possíveis composições entre essas 6 permutações.

Passo 4

Vamos montar a tabela de composição. As linhas representam a permutação sigma e as colunas representam a permutação varphi. O resultado na interseção será sigma odot varphi.
sigma backslash varphi e (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
e e (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2) (1 2) e (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3)
(1 3) (1 3) (1 3 2) e (1 2 3) (2 3) (1 2)
(2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) e (1 2) (1 3)
(1 2 3) (1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) e
(1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) e (1 2 3)

Passo 5

Agora, vamos preencher essa tabela realizando as composições uma a uma. Por exemplo:
  • sigma = (1 2) e varphi = (1 3):
    Primeiro aplicamos (1 3): 1 vai para 3, 3 vai para 1, 2 fica.
    Depois aplicamos (1 2): 1 vai para 2, 2 vai para 1, 3 fica.
    Então, o resultado é (1 2 3).
Vamos fazer isso para todas as combinações.

Resposta

Após preencher todas as composições, os produtos sigma odot varphi onde sigma e varphi são permutações de N3 são:
  • e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2).
Isso significa que, ao combinar todas as permutações possíveis de S3, obtemos novamente todos os elementos do grupo S3.

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