Dados os vetores
A=3 x+2 y-z, B=3 x-4 y-5 z, C=x-y+z,
determine:
Qual é o ângulo entre os vetores A e B ? Entre A e C ? B e C? Entre A e B times C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço: A, B e C. Nosso objetivo é descobrir os ângulos entre cada par deles e também entre A e o produto vetorial de B e C (ou seja, B times C). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar (produto interno) e produto vetorial. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ângulo entre os vetores A e B. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = A cdot B|A| , |B|
Aqui, A cdot B é o produto escalar dos vetores, e |A| e |B| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores A e B, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados:
A cdot B = (3)(3) + (2)(-4) + (-1)(-5) = 9 - 8 + 5 = 6

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores A e B. A magnitude de um vetor V = a,x + b,y + c,z é dada por:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso:
|A| = raiz3^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 approx 3,7417
|B| = raiz3^2 + (-4)^2 + (-5)^2 = raiz9 + 16 + 25 = raiz50 approx 7,0711

Passo 5

Com os valores do produto escalar e das magnitudes, podemos agora calcular o cosseno do ângulo theta entre A e B:
cos theta = 63,7417 times 7,0711 approx 626,4575 approx 0,227

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, aplicamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0,227) approx 76,2^circ

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar o ângulo entre A e C. Primeiro, calculamos o produto escalar A cdot C:
A cdot C = (3)(1) + (2)(-1) + (-1)(1) = 3 - 2 - 1 = 0

Passo 8

Calculando as magnitudes dos vetores A e C:
|C| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 approx 1,7321

Passo 9

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos theta = 03,7417 times 1,7321 = 0

Passo 10

O cosseno de theta é zero, o que significa que o ângulo theta é de 90^circ. Portanto, A e C são perpendiculares.

Passo 11

Em seguida, vamos encontrar o ângulo entre B e C. Primeiro, calculamos o produto escalar B cdot C:
B cdot C = (3)(1) + (-4)(-1) + (-5)(1) = 3 + 4 - 5 = 2

Passo 12

Já temos a magnitude de C, que é aproximadamente 1,7321. A magnitude de B é aproximadamente 7,0711.

Passo 13

Calculando o cosseno do ângulo entre B e C:
cos theta = 27,0711 times 1,7321 approx 212,2474 approx 0,1636

Passo 14

Aplicando a função arco cosseno:
theta = arccos(0,1636) approx 80,6^circ

Passo 15

Finalmente, vamos determinar o ângulo entre A e o produto vetorial B times C. Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial B times C.
O produto vetorial de dois vetores U = ux x + uy y + uz z e V = vx x + vy y + vz z é dado por:
U times V = (uy vz - uz vy)x - (ux vz - uz vx)y + (ux vy - uy vx)z

Passo 16

Aplicando isso para B e C:
B times C = [(-4)(1) - (-5)(-1)]x - [(3)(1) - (-5)(1)]y + [(3)(-1) - (-4)(1)]z = (-4 - 5)x - (3 + 5)y + (-3 + 4)z = -9,x - 8,y + 1,z

Passo 17

Agora, calculamos o produto escalar entre A e B times C:
A cdot (B times C) = (3)(-9) + (2)(-8) + (-1)(1) = -27 - 16 - 1 = -44

Passo 18

Calculamos agora a magnitude do produto vetorial B times C:
|B times C| = raiz(-9)^2 + (-8)^2 + 1^2 = raiz81 + 64 + 1 = raiz146 approx 12,0830

Passo 19

Usando a fórmula do cosseno novamente para encontrar o ângulo entre A e B times C:
cos theta = -443,7417 times 12,0830 approx -4445,179 approx -0,974

Passo 20

Aplicando a função arco cosseno:
theta = arccos(-0,974) approx 166,0^circ

Resposta

  • O ângulo entre A e B é aproximadamente 76,2^circ.
  • O ângulo entre A e C é 90^circ.
  • O ângulo entre B e C é aproximadamente 80,6^circ.
  • O ângulo entre A e B times C é aproximadamente 166,0^circ.

Exercícios relacionados