Dados os vetores
determine:
Qual é o ângulo entre os vetores
e
? Entre
e
? B e C? Entre
e B
?
Qual é o ângulo entre os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço:
,
e
. Nosso objetivo é descobrir os ângulos entre cada par deles e também entre
e o produto vetorial de
e
(ou seja,
). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar (produto interno) e produto vetorial. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
e
são as magnitudes (ou módulos) dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso:
Passo 5
Com os valores do produto escalar e das magnitudes, podemos agora calcular o cosseno do ângulo
entre
e
:
Passo 6
Para encontrar o ângulo
, aplicamos a função arco cosseno:
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar o ângulo entre
e
. Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Calculando as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 9
Substituindo na fórmula do cosseno:
Passo 10
O cosseno de
é zero, o que significa que o ângulo
é de
. Portanto,
e
são perpendiculares.
Passo 11
Em seguida, vamos encontrar o ângulo entre
e
. Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 12
Já temos a magnitude de
, que é aproximadamente
. A magnitude de
é aproximadamente
.
Passo 13
Calculando o cosseno do ângulo entre
e
:
Passo 14
Aplicando a função arco cosseno:
Passo 15
Finalmente, vamos determinar o ângulo entre
e o produto vetorial
. Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial
.
O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Passo 16
Aplicando isso para
e
:
Passo 17
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Passo 18
Calculamos agora a magnitude do produto vetorial
:
Passo 19
Usando a fórmula do cosseno novamente para encontrar o ângulo entre
e
:
Passo 20
Aplicando a função arco cosseno:
Resposta
- O ângulo entre
e é aproximadamente . - O ângulo entre
e é . - O ângulo entre
e é aproximadamente . - O ângulo entre
e é aproximadamente .