Dados os vetores
determine:
Qual é o ângulo entre os vetores e ? Entre e ? B e C? Entre e B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço: , e . Nosso objetivo é descobrir os ângulos entre cada par deles e também entre e o produto vetorial de e (ou seja, ). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar (produto interno) e produto vetorial. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ângulo entre os vetores e . Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso:

Passo 5

Com os valores do produto escalar e das magnitudes, podemos agora calcular o cosseno do ângulo entre e :

Passo 6

Para encontrar o ângulo , aplicamos a função arco cosseno:

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar o ângulo entre e . Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 8

Calculando as magnitudes dos vetores e :

Passo 9

Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 10

O cosseno de é zero, o que significa que o ângulo é de . Portanto, e são perpendiculares.

Passo 11

Em seguida, vamos encontrar o ângulo entre e . Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 12

Já temos a magnitude de , que é aproximadamente . A magnitude de é aproximadamente .

Passo 13

Calculando o cosseno do ângulo entre e :

Passo 14

Aplicando a função arco cosseno:

Passo 15

Finalmente, vamos determinar o ângulo entre e o produto vetorial . Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial .
O produto vetorial de dois vetores e é dado por:

Passo 16

Aplicando isso para e :

Passo 17

Agora, calculamos o produto escalar entre e :

Passo 18

Calculamos agora a magnitude do produto vetorial :

Passo 19

Usando a fórmula do cosseno novamente para encontrar o ângulo entre e :

Passo 20

Aplicando a função arco cosseno:

Resposta

  • O ângulo entre e é aproximadamente .
  • O ângulo entre e é .
  • O ângulo entre e é aproximadamente .
  • O ângulo entre e é aproximadamente .

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