Dados os vetores
A=3 x+2 y-z, B=3 x-4 y-5 z, C=x-y+z,
determine:
Qual é a área formada por um triângulo que tem como lados os vetores A e B ? Idem para A e C e depois B e C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área de triângulos formados pelos vetores A e B, A e C, e B e C. Para isso, vamos usar a teoria de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de um paralelogramo formado por dois vetores. A área do triângulo será metade disso. Precisamos calcular o produto vetorial de cada par de vetores e depois calcular a magnitude desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre A e B. A fórmula para o produto vetorial A times B é:
A times B = x & y & z 3 & 2 & -1 3 & -4 & -5
Calculando o determinante:
A times B = x(2 cdot (-5) - (-1) cdot (-4)) - y(3 cdot (-5) - (-1) cdot 3) + z(3 cdot (-4) - 2 cdot 3)
A times B = x(-10 - 4) - y(-15 - (-3)) + z(-12 - 6)
A times B = -14 x + 12 y - 18 z

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo:
|A times B| = raiz(-14)^2 + 12^2 + (-18)^2 = raiz196 + 144 + 324 = raiz664 approx 25.77
A área do triângulo é metade disso:
ÁreaAB = 12 times 25.77 approx 12.89 Á

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para os vetores A e C.
Calculando A times C:
A times C = x & y & z 3 & 2 & -1 1 & -1 & 1
A times C = x(2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - y(3 cdot 1 - (-1) cdot 1) + z(3 cdot (-1) - 2 cdot 1)
A times C = x(2 - 1) - y(3 - (-1)) + z(-3 - 2)
A times C = 1 x - 4 y - 5 z
Calculando a magnitude:
|A times C| = raiz1^2 + (-4)^2 + (-5)^2 = raiz1 + 16 + 25 = raiz42 approx 6.48
Área do triângulo:
ÁreaAC = 12 times 6.48 approx 3.24 Á

Passo 5

Por fim, calculamos para os vetores B e C.
Calculando B times C:
B times C = x & y & z 3 & -4 & -5 1 & -1 & 1
B times C = x((-4) cdot 1 - (-5) cdot (-1)) - y(3 cdot 1 - (-5) cdot 1) + z(3 cdot (-1) - (-4) cdot 1)
B times C = x(-4 - 5) - y(3 - (-5)) + z(-3 + 4)
B times C = -9 x - 8 y + 1 z
Calculando a magnitude:
|B times C| = raiz(-9)^2 + (-8)^2 + 1^2 = raiz81 + 64 + 1 = raiz146 approx 12.08
Área do triângulo:
ÁreaBC = 12 times 12.08 approx 6.04 Á

Resposta

As áreas dos triângulos são aproximadamente:
  • Triângulo formado por A e B: 12.89 unidades²
  • Triângulo formado por A e C: 3.24 unidades²
  • Triângulo formado por B e C: 6.04 unidades²

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