Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev / min em torno de um eixo cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira, é acoplada à mesma haste. (b) Que fração da energia cinética de rotação inicial é perdida?

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-lo. Temos duas rodas:
  1. Primeira roda: Está girando livremente com uma velocidade angular de e tem um momento de inércia .
  2. Segunda roda: Inicialmente está em repouso e tem um momento de inércia .
Quando as duas rodas são acopladas à mesma haste, queremos descobrir qual fração da energia cinética de rotação inicial da primeira roda é perdida após o acoplamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento angular e energia cinética de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o momento angular total do sistema deve ser conservado durante o processo de acoplamento, já que não há torque externo agindo sobre as rodas. A fórmula para o momento angular ( L = I cdot omega ) é:
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Energia cinética de rotação é dada por:
Ek = 12 I omega^2
No início, apenas a primeira roda está girando. Então, a energia cinética inicial ( Ek1 = 12 I1 omega1^2 ) é:
onde .

Passo 4

Quando as duas rodas estão acopladas, o momento de inércia total do sistema ( Itotal = I1 + I2 = I1 + 2I1 = 3I1 ) é:

Passo 5

Aplicando a conservação do momento angular, temos:
Linicial = Lfinal
I1 cdot omega1 = (I1 + I2) cdot omega2
I1 cdot omega1 = 3I1 cdot omega2
Resolvendo para omega2 = I1 cdot omega13I1 = omega13 :
Então, a velocidade angular após o acoplamento é um terço da velocidade inicial.

Passo 6

Agora, calculamos a energia cinética final ( Ek2 = 12 Itotal omega2^2 = 12 cdot 3I1 cdot (omega13)^2 ) com a nova velocidade angular:
Ek2 = 12 cdot 3I1 cdot omega1^29 = 3I1 omega1^218 = I1 omega1^26

Passo 7

A energia cinética perdida ( De) é a diferença entre a energia inicial e a final:

Passo 8

Para encontrar a fração da energia perdida, dividimos a energia perdida pela energia inicial:
Fração perdida = Deçã

Resposta

A fração da energia cinética de rotação inicial que é perdida é .

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