Determine a área de um círculo de raio
no plano
centrado na origem usando
Coordenadas cilíndricas:
Em qual dos dois foi mais fácil?
Coordenadas cilíndricas:
Em qual dos dois foi mais fácil?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um círculo de raio
no plano
, que está centrado na origem. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
e
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas cilíndricas e como calcular áreas usando elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Enquanto nas coordenadas cartesianas usamos
,
e
, nas coordenadas cilíndricas usamos
(a distância do ponto à origem no plano
),
(o ângulo em relação ao eixo
) e
(a altura). No nosso caso, como estamos no plano
,
.
Passo 3
Para encontrar a área, vamos parametrizar o círculo em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
é constante, então qualquer ponto no círculo tem distância
da origem. O ângulo
vai variar de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 4
A fórmula para calcular a área em coordenadas cilíndricas é similar à de coordenadas polares. A área diferencial em coordenadas polares é
. Porém, como
é constante, não precisamos integrar em
. Em vez disso, podemos usar a fórmula direta da área do círculo.
Passo 5
Sabemos que a área de um círculo é dada por
. Isso porque, em polares ou cilíndricas, a integral para a área completa do círculo resulta nessa expressão. Portanto, não precisamos fazer a integração aqui, já que a fórmula direta já nos fornece a resposta de forma simples.
Resposta
A área do círculo de raio
no plano
é
.
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? Idem para
e
e depois
e
?
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e
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e B
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.
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