Determine a área de um círculo de raio no plano centrado na origem usando
Coordenadas cilíndricas:
Em qual dos dois foi mais fácil?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um círculo de raio no plano , que está centrado na origem. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde e . Vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas cilíndricas e como calcular áreas usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Enquanto nas coordenadas cartesianas usamos , e , nas coordenadas cilíndricas usamos (a distância do ponto à origem no plano ), (o ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). No nosso caso, como estamos no plano , .

Passo 3

Para encontrar a área, vamos parametrizar o círculo em coordenadas cilíndricas. Sabemos que é constante, então qualquer ponto no círculo tem distância da origem. O ângulo vai variar de a para percorrer todo o círculo.

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas cilíndricas é similar à de coordenadas polares. A área diferencial em coordenadas polares é . Porém, como é constante, não precisamos integrar em . Em vez disso, podemos usar a fórmula direta da área do círculo.

Passo 5

Sabemos que a área de um círculo é dada por . Isso porque, em polares ou cilíndricas, a integral para a área completa do círculo resulta nessa expressão. Portanto, não precisamos fazer a integração aqui, já que a fórmula direta já nos fornece a resposta de forma simples.

Resposta

A área do círculo de raio no plano é .

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