Calcule o comprimento de uma espiral logarítmica, dada por , entre os pontos . Repita para uma espiral de Arquimedes, cuja equação é .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o cálculo do comprimento de duas espirais: a espiral logarítmica e a espiral de Arquimedes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integração em coordenadas polares. Precisaremos entender como determinar o comprimento de uma curva definida por equações em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento da espiral logarítmica dada por entre os pontos e . A fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares é:

Passo 3

Vamos encontrar para a espiral logarítmica:

Passo 4

Substituindo e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando a raiz quadrada:
Então, o comprimento fica:

Passo 6

Calculando a integral:
Aplicando os limites:

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento da espiral de Arquimedes dada por entre e . Usamos a mesma fórmula do comprimento:

Passo 8

Calculando para a espiral de Arquimedes:

Passo 9

Substituindo e na fórmula do comprimento:

Passo 10

Fatorando o 4 dentro da raiz e simplificando:
Então, o comprimento fica:

Passo 11

A integral pode ser resolvida utilizando a fórmula:
Aplicando isso:

Passo 12

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto, o comprimento é:

Resposta

  • O comprimento da espiral logarítmica é:
  • O comprimento da espiral de Arquimedes é:

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