Calcule o comprimento de uma espiral logarítmica, dada por rho=e^2 varphi, entre os pontos varphi=0 e varphi=pi / 6. Repita para uma espiral de Arquimedes, cuja equação é rho=2 varphi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o cálculo do comprimento de duas espirais: a espiral logarítmica e a espiral de Arquimedes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integração em coordenadas polares. Precisaremos entender como determinar o comprimento de uma curva definida por equações em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento da espiral logarítmica dada por L = integralvarphi1^varphi2 raiz(drhodvarphi)^2 + rho^2 , dvarphi entre os pontos e . A fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares é:

Passo 3

Vamos encontrar drhodvarphi = ddvarphi e^2 varphi = 2 e^2 varphi para a espiral logarítmica:

Passo 4

Substituindo L = integral0^pi6 raiz(2 e^2 varphi)^2 + (e^2 varphi)^2 , dvarphi = integral0^pi6 raiz4 e^4 varphi + e^4 varphi , dvarphi = integral0^pi6 raiz5 e^4 varphi , dvarphi e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando a raiz quadrada:
raiz5 e^4 varphi = e^2 varphi raiz5
Então, o comprimento fica:
L = raiz5 integral0^pi6 e^2 varphi , dvarphi

Passo 6

Calculando a integral:
integral e^2 varphi , dvarphi = 12 e^2 varphi + C
Aplicando os limites:
L = raiz5 [ 12 e^2 varphi ]0^pi6 = raiz52 ( e^pi3 - 1 )

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento da espiral de Arquimedes dada por L = integralvarphi1^varphi2 raiz(drhodvarphi)^2 + rho^2 , dvarphi entre e . Usamos a mesma fórmula do comprimento:

Passo 8

Calculando drhodvarphi = ddvarphi (2 varphi) = 2 para a espiral de Arquimedes:

Passo 9

Substituindo L = integral0^pi6 raiz2^2 + (2 varphi)^2 , dvarphi = integral0^pi6 raiz4 + 4 varphi^2 , dvarphi = integral0^pi6 2 raiz1 + varphi^2 , dvarphi e na fórmula do comprimento:

Passo 10

Fatorando o 4 dentro da raiz e simplificando:
raiz4(1 + varphi^2) = 2 raiz1 + varphi^2
Então, o comprimento fica:
L = 2 integral0^pi6 raiz1 + varphi^2 , dvarphi

Passo 11

A integral integral raiz1 + x^2 , dx = 12 ( x raiz1 + x^2 + sinh^-1 x ) + C pode ser resolvida utilizando a fórmula:
L = 2 [ 12 ( varphi raiz1 + varphi^2 + sinh^-1 (varphi) ) ]0^pi6 = ( varphi raiz1 + varphi^2 + sinh^-1 (varphi) ) |0^pi6
Aplicando isso:

Passo 12

Aplicando os limites de integração:
Para pi6 raiz1 + (pi6)^2 + sinh^-1 (pi6) :
0 times raiz1 + 0 + sinh^-1(0) = 0
Para L = pi6 raiz1 + (pi6)^2 + sinh^-1 (pi6) :
Portanto, o comprimento é:

Resposta

  • O comprimento da espiral logarítmica é:
L = raiz52 ( e^pi3 - 1 )
  • O comprimento da espiral de Arquimedes é:
L = pi6 raiz1 + (pi6)^2 + sinh^-1 (pi6)

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