Calcule o comprimento de uma espiral logarítmica, dada por , entre os pontos . Repita para uma espiral de Arquimedes, cuja equação é .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o cálculo do comprimento de duas espirais: a espiral logarítmica e a espiral de Arquimedes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integração em coordenadas polares. Precisaremos entender como determinar o comprimento de uma curva definida por equações em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comprimento da espiral logarítmica dada por entre os pontos e . A fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares é:
Passo 3
Vamos encontrar para a espiral logarítmica:
Passo 4
Substituindo e na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificando a raiz quadrada:
Então, o comprimento fica:
Passo 6
Calculando a integral:
Aplicando os limites:
Passo 7
Agora, vamos calcular o comprimento da espiral de Arquimedes dada por entre e . Usamos a mesma fórmula do comprimento:
Passo 8
Calculando para a espiral de Arquimedes:
Passo 9
Substituindo e na fórmula do comprimento:
Passo 10
Fatorando o 4 dentro da raiz e simplificando:
Então, o comprimento fica:
Passo 11
A integral pode ser resolvida utilizando a fórmula: