DADOS Você comprime um gás em um cilindro isolado - nenhum fluxo de calor entra ou sai do gás. A pressão do gás é muito baixa, de modo que uma boa aproximação é tratá-lo como ideal. Quando você mede a pressão em função do volume do gás, encontra estes resultados:
V(L) 2,50 2,02 1,48 1,01 0,50
P(a t m) 0,101 0,139 0,202 0,361 0,952
(a) Represente graficamente log (P) versus log (V), com P em Pa e V em m^3. Explique por que os pontos de dados ficam próximos a uma linha reta. (b) Use seu gráfico para calcular gamma para o gás. O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? © Quando P=0,101 atm e V=2,50 L, a temperatura é 22,0^circ C. Aplique a equação do gás ideal e calcule a temperatura para cada um dos outros pares de valores de P e V. Nesta compressão, a temperatura do gás aumenta, diminui ou permanece constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a compressão de um gás ideal em um cilindro isolado, ou seja, sem troca de calor com o ambiente (processo adiabático). Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a lei dos gases ideais e as relações entre pressão, volume e temperatura em processos adiabáticos. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Representar graficamente log(P) versus log(V)
Primeiro, vamos converter as unidades para seguir as instruções:
  • Pressão ( P): de atm para Pascal (1 atm = 101325 Pa)
  • Volume ( V): de litros para metros cúbicos (1 L = 0,001 m³)
Vamos converter os dados:
V (L) 2,50 2,02 1,48 1,01 0,50
P (atm) 0,101 0,139 0,202 0,361 0,952
Conversão para V em m³:
V (m^3) = V (L) times 0,001
| V (m³) | 0,00250 | 0,00202 | 0,00148 | 0,00101 | 0,00050 |
Conversão para P em Pa:
P (Pa) = P (atm) times 101325
| P (Pa) | 10132,825 | 14132,925 | 20465,850 | 36612,825 | 95943,900 |
Agora, vamos calcular os logaritmos:
log(P) e log(V)
Calculando cada ponto:
V (m³) P (Pa) log(V) log(P)
0,00250 10132,825 -2,602 4,007
0,00202 14132,925 -2,694 4,150
0,00148 20465,850 -2,830 4,311
0,00101 36612,825 -2,996 4,563
0,00050 95943,900 -3,301 4,982
Agora, plotamos esses pontos em um gráfico de log(P) versus log(V).
Por que os pontos ficam próximos a uma linha reta?
Em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
PV^gamma = constante
Tomando o logaritmo dos dois lados:
log(P) + gamma log(V) = constante
Isso é uma equação de uma reta na forma y = m x + b, onde:
  • y = log(P)
  • x = log(V)
  • m = -gamma
  • b = constante
Por isso, os pontos se alinham aproximadamente em uma linha reta, e a inclinação dessa linha nos dá o valor de -gamma.

Passo 3

Parte (b): Calcular gamma usando o gráfico e identificar o tipo de gás
A inclinação da linha reta no gráfico log(P) versus log(V) é igual a -gamma. Para encontrar gamma, precisamos calcular a inclinação.
Usando dois pontos do gráfico, por exemplo:
Ponto 1: (log(V1), log(P1)) = (-2,602; 4,007)
Ponto 5: (log(V5), log(P5)) = (-3,301; 4,982)
A inclinação m é:
m = y2 - y1x2 - x1 = 4,982 - 4,007-3,301 - (-2,602) = 0,975-0,699 approx -1,393
Então,
-gamma approx -1,393 implies gamma approx 1,393
Identificando o tipo de gás:
Os valores típicos de gamma são:
  • Monoatômico: gamma = 53 approx 1,667
  • Diatômico: gamma = 75 = 1,4
  • Poliatômico: gamma menor que 1,4
Nosso cálculo deu gamma approx 1,393, que está próximo de 1,4, indicando que o gás é diatômico.

Passo 4

Parte ©: Calcular a temperatura para cada par de P e V usando a equação do gás ideal
A equação do gás ideal é:
PV = nRT
Onde:
  • P = pressão em Pa
  • V = volume em m³
  • n = número de mols
  • R = constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/(mol·K))
  • T = temperatura em Kelvin
Primeiro, vamos encontrar n usando os dados fornecidos para P=10132,825 Pa, V=0,00250 m³ e T=22,0°C (ou 295,15 K):
n = PVRT = 10132,825 times 0,002508,314 times 295,15 approx 25,3322457,72 approx 0,0103 mol
Agora, vamos calcular a temperatura para os outros pares de P e V:
T = PVnR
Para P=14132,925 Pa e V=0,00202 m³:
T = 14132,925 times 0,002020,0103 times 8,314 approx 28,560,0856 approx 333,9 K
T approx 60,75°C
Para P=20465,850 Pa e V=0,00148 m³:
T = 20465,850 times 0,001480,0103 times 8,314 approx 30,310,0856 approx 354,0 K
T approx 80,85°C
Para P=36612,825 Pa e V=0,00101 m³:
T = 36612,825 times 0,001010,0103 times 8,314 approx 36,980,0856 approx 431,9 K
T approx 158,75°C
Para P=95943,900 Pa e V=0,00050 m³:
T = 95943,900 times 0,000500,0103 times 8,314 approx 47,970,0856 approx 560,2 K
T approx 287,05°C
Análise da temperatura durante a compressão:
Observamos que, conforme o volume diminui e a pressão aumenta, a temperatura também aumenta. Portanto, durante essa compressão adiabática, a temperatura do gás aumenta.

Resposta

(a) Convertendo os dados para P em Pa e V em m³, calculamos log(P) e log(V) para cada par. Ao plotar log(P) versus log(V), os pontos se alinham próximo a uma linha reta porque, em um processo adiabático para um gás ideal, existe uma relação linear entre esses logaritmos, conforme PV^gamma = constante.
(b) Calculando a inclinação da linha reta no gráfico, encontramos gamma approx 1,393, indicando que o gás é diatômico.
© Usando a equação do gás ideal, calculamos as temperaturas para os outros pares de P e V e constatamos que, conforme o gás é comprimido (V diminui e P aumenta), a temperatura também aumenta durante o processo.

Exercícios relacionados