DADOS Você comprime um gás em um cilindro isolado - nenhum fluxo de calor entra ou sai do gás. A pressão do gás é muito baixa, de modo que uma boa aproximação é tratá-lo como ideal. Quando você mede a pressão em função do volume do gás, encontra estes resultados:
2,50 2,02 1,48 1,01 0,50
0,101 0,139 0,202 0,361 0,952
(a) Represente graficamente versus , com em Pa e em . Explique por que os pontos de dados ficam próximos a uma linha reta. (b) Use seu gráfico para calcular para o gás. O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? © Quando e , a temperatura é . Aplique a equação do gás ideal e calcule a temperatura para cada um dos outros pares de valores de e . Nesta compressão, a temperatura do gás aumenta, diminui ou permanece constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a compressão de um gás ideal em um cilindro isolado, ou seja, sem troca de calor com o ambiente (processo adiabático). Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a lei dos gases ideais e as relações entre pressão, volume e temperatura em processos adiabáticos. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Representar graficamente versus
Primeiro, vamos converter as unidades para seguir as instruções:
  • Pressão ( ): de atm para Pascal (1 atm = 101325 Pa)
  • Volume ( ): de litros para metros cúbicos (1 L = 0,001 m³)
Vamos converter os dados:
(L) 2,50 2,02 1,48 1,01 0,50
(atm) 0,101 0,139 0,202 0,361 0,952
Conversão para em m³:
| (m³) | 0,00250 | 0,00202 | 0,00148 | 0,00101 | 0,00050 |
Conversão para em Pa:
| (Pa) | 10132,825 | 14132,925 | 20465,850 | 36612,825 | 95943,900 |
Agora, vamos calcular os logaritmos:
Calculando cada ponto:
(m³) (Pa)
0,00250 10132,825 -2,602 4,007
0,00202 14132,925 -2,694 4,150
0,00148 20465,850 -2,830 4,311
0,00101 36612,825 -2,996 4,563
0,00050 95943,900 -3,301 4,982
Agora, plotamos esses pontos em um gráfico de versus .
Por que os pontos ficam próximos a uma linha reta?
Em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
Tomando o logaritmo dos dois lados:
Isso é uma equação de uma reta na forma , onde:
Por isso, os pontos se alinham aproximadamente em uma linha reta, e a inclinação dessa linha nos dá o valor de .

Passo 3

Parte (b): Calcular usando o gráfico e identificar o tipo de gás
A inclinação da linha reta no gráfico versus é igual a . Para encontrar , precisamos calcular a inclinação.
Usando dois pontos do gráfico, por exemplo:
Ponto 1:
Ponto 5:
A inclinação é:
Então,
Identificando o tipo de gás:
Os valores típicos de são:
  • Monoatômico:
  • Diatômico:
  • Poliatômico: menor que 1,4
Nosso cálculo deu , que está próximo de 1,4, indicando que o gás é diatômico.

Passo 4

Parte ©: Calcular a temperatura para cada par de e usando a equação do gás ideal
A equação do gás ideal é:
Onde:
  • = pressão em Pa
  • = volume em m³
  • = número de mols
  • = constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/(mol·K))
  • = temperatura em Kelvin
Primeiro, vamos encontrar usando os dados fornecidos para Pa, m³ e (ou 295,15 K):
Agora, vamos calcular a temperatura para os outros pares de e :
Para Pa e m³:
Para Pa e m³:
Para Pa e m³:
Para Pa e m³:
Análise da temperatura durante a compressão:
Observamos que, conforme o volume diminui e a pressão aumenta, a temperatura também aumenta. Portanto, durante essa compressão adiabática, a temperatura do gás aumenta.

Resposta

(a) Convertendo os dados para em Pa e em m³, calculamos e para cada par. Ao plotar versus , os pontos se alinham próximo a uma linha reta porque, em um processo adiabático para um gás ideal, existe uma relação linear entre esses logaritmos, conforme .
(b) Calculando a inclinação da linha reta no gráfico, encontramos , indicando que o gás é diatômico.
© Usando a equação do gás ideal, calculamos as temperaturas para os outros pares de e e constatamos que, conforme o gás é comprimido (V diminui e P aumenta), a temperatura também aumenta durante o processo.

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