Dar as soluções constantes das equações: y' = x (y^2 - 5y + 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as soluções constantes da equação diferencial . Isso significa que queremos encontrar valores de que não mudam, ou seja, que são constantes, fazendo essa equação valer para todo . Para isso, vamos precisar entender o que significa ter uma solução constante e como aplicar isso na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma solução constante é aquela onde não varia com . Matemáticamente, isso significa que a derivada de em relação a , , é igual a zero:

Passo 3

Agora, substituímos por zero na equação original:

Passo 4

Para essa equação ser válida para todo , o fator que está multiplicando também precisa ser igual a zero. Isso porque, se variar, a única maneira de garantir que o produto seja sempre zero é que o outro fator seja zero:

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:

Passo 6

Igualando cada fator a zero, encontramos as soluções:

Resposta

As soluções constantes da equação são e .

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