Quais equações são de variáveis separáveis y' = sen(x) / y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a equação diferencial é de variáveis separáveis. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente no tópico de equações de variáveis separáveis. Para resolver isso, vamos verificar se conseguimos separar as variáveis e de lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de variáveis separáveis. É uma equação diferencial onde a expressão pode ser escrita como . Isso significa que podemos reorganizar a equação para ter todas as funções de de um lado e todas as funções de do outro lado.

Passo 3

Nossa equação é . Vamos reescrever isso para tentar separar as variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e para separar as variáveis e .

Passo 4

Agora que temos , podemos integrar os dois lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo em rela�o a :
E integrando o lado direito em relação a :

Passo 5

Igualando as integrais e combinando as constantes de integração:
Onde representa a constante geral de integração.

Passo 6

Para deixar a solução mais limpa, podemos multiplicar ambos os lados por 3:
Onde é apenas outra constante.

Passo 7

Por fim, isolamos para encontrar a solução explícita:

Resposta

Sim, a equação é de variáveis separáveis. A solução geral é , onde é uma constante de integração.

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