Quais equações são de variáveis separáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a equação diferencial
é de variáveis separáveis. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente no tópico de equações de variáveis separáveis. Para resolver isso, vamos verificar se conseguimos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de variáveis separáveis. É uma equação diferencial onde a expressão pode ser escrita como
. Isso significa que podemos reorganizar a equação para ter todas as funções de
de um lado e todas as funções de
do outro lado.
Passo 3
Nossa equação é
. Vamos reescrever isso para tentar separar as variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e
para separar as variáveis
e
.
Passo 4
Agora que temos
, podemos integrar os dois lados para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo em rela�o a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 5
Igualando as integrais e combinando as constantes de integração:
Onde
representa a constante geral de integração.
Passo 6
Para deixar a solução mais limpa, podemos multiplicar ambos os lados por 3:
Onde
é apenas outra constante.
Passo 7
Por fim, isolamos
para encontrar a solução explícita:
Resposta
Sim, a equação
é de variáveis separáveis. A solução geral é
, onde
é uma constante de integração.