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Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um disco de
de raio possui uma densidade superficial de carga de
na superficie superior. Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância
do centro do disco?
Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um disco de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um disco carregado eletricamente e precisa descobrir a intensidade do campo elétrico que esse disco gera em um ponto específico no eixo central, que está a 12 cm do centro do disco. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, mais especificamente como calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a um anel de carga e depois integrar para achar o campo total do disco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade superficial de carga. A densidade superficial de carga, representada por
, nos diz quanta carga está distribuída por unidade de área. No nosso caso, a densidade superficial é de
, o que significa que cada metro quadrado da superfície do disco tem
microcoulombs de carga.
Passo 3
Como o disco tem um raio de
, vamos converter isso para metros para manter as unidades consistentes. Assim,
.
Passo 4
Agora, para achar o campo elétrico no ponto a uma distância
do centro do disco ao longo do eixo central, precisamos integrar o campo devido a pequenos elementos de carga no disco. É mais fácil pensar no disco como sendo composto por infinitos anéis concêntricos, cada um com seu próprio campo elétrico.
Passo 5
Vamos lembrar da fórmula do campo elétrico devido a um anel de carga no eixo central:
Aqui,
é a carga de um anel infinitesimal de raio
e espessura
,
é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo, e
é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente
.
Passo 6
A carga
em um anel de raio
e espessura
é dada por:
Substituindo isso na equação do campo elétrico:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Para achar o campo total
, precisamos integrar
desde
até
(raio do disco):
Passo 8
Fazendo a substituição
, então
. A integral se torna:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos todas as medidas para o Sistema Internacional:
- Raio do disco:
- Distância
- Densidade superficial de carga:
- Permissividade do vácuo:
Substituindo na fórmula:
Passo 11
Calculando a parte dentro dos parênteses:
Passo 12
Agora, calculando o fator fora dos parênteses:
Passo 13
Multiplicando os dois resultados:
Resposta
O módulo do campo elétrico produzido pelo disco no ponto considerado é aproximadamente
.