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Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um disco de de raio possui uma densidade superficial de carga de na superficie superior. Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância do centro do disco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um disco carregado eletricamente e precisa descobrir a intensidade do campo elétrico que esse disco gera em um ponto específico no eixo central, que está a 12 cm do centro do disco. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, mais especificamente como calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a um anel de carga e depois integrar para achar o campo total do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade superficial de carga. A densidade superficial de carga, representada por , nos diz quanta carga está distribuída por unidade de área. No nosso caso, a densidade superficial é de , o que significa que cada metro quadrado da superfície do disco tem microcoulombs de carga.

Passo 3

Como o disco tem um raio de , vamos converter isso para metros para manter as unidades consistentes. Assim, .

Passo 4

Agora, para achar o campo elétrico no ponto a uma distância do centro do disco ao longo do eixo central, precisamos integrar o campo devido a pequenos elementos de carga no disco. É mais fácil pensar no disco como sendo composto por infinitos anéis concêntricos, cada um com seu próprio campo elétrico.

Passo 5

Vamos lembrar da fórmula do campo elétrico devido a um anel de carga no eixo central:
Aqui, é a carga de um anel infinitesimal de raio e espessura , é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo, e é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente .

Passo 6

A carga em um anel de raio e espessura é dada por:
Substituindo isso na equação do campo elétrico:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Para achar o campo total , precisamos integrar desde até (raio do disco):

Passo 8

Fazendo a substituição , então . A integral se torna:

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos todas as medidas para o Sistema Internacional:
  • Raio do disco:
  • Distância
  • Densidade superficial de carga:
  • Permissividade do vácuo:
Substituindo na fórmula:

Passo 11

Calculando a parte dentro dos parênteses:

Passo 12

Agora, calculando o fator fora dos parênteses:

Passo 13

Multiplicando os dois resultados:

Resposta

O módulo do campo elétrico produzido pelo disco no ponto considerado é aproximadamente .

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