Data 16 / 07 / 2024
Instruções:
Resolver na forma de manuscrito detalhando todos os cálculos.
Um disco de 2,5 cm de raio possui uma densidade superficial de carga de 5,3 mu C / m 2 na superficie superior. Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância z=12 cm do centro do disco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um disco carregado eletricamente e precisa descobrir a intensidade do campo elétrico que esse disco gera em um ponto específico no eixo central, que está a 12 cm do centro do disco. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, mais especificamente como calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a um anel de carga e depois integrar para achar o campo total do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade superficial de carga. A densidade superficial de carga, representada por sigma, nos diz quanta carga está distribuída por unidade de área. No nosso caso, a densidade superficial é de 5,3, muC/m^2, o que significa que cada metro quadrado da superfície do disco tem 5,3 microcoulombs de carga.

Passo 3

Como o disco tem um raio de 2,5, cm, vamos converter isso para metros para manter as unidades consistentes. Assim, 2,5, cm = 0,025, m.

Passo 4

Agora, para achar o campo elétrico no ponto a uma distância z = 12, cm do centro do disco ao longo do eixo central, precisamos integrar o campo devido a pequenos elementos de carga no disco. É mais fácil pensar no disco como sendo composto por infinitos anéis concêntricos, cada um com seu próprio campo elétrico.

Passo 5

Vamos lembrar da fórmula do campo elétrico devido a um anel de carga no eixo central:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2
Aqui, dq é a carga de um anel infinitesimal de raio r e espessura dr, z é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente 8,85 times 10^-12, C^2/Ncdotm^2.

Passo 6

A carga dq em um anel de raio r e espessura dr é dada por:
dq = sigma cdot dA = sigma cdot 2pi r, dr
Substituindo isso na equação do campo elétrico:
dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r, dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
dE = sigma z2varepsilon0 cdot r, dr(z^2 + r^2)^3/2
Para achar o campo total E, precisamos integrar dE desde r = 0 até r = R (raio do disco):
E = integral0^R sigma z2varepsilon0 cdot r, dr(z^2 + r^2)^3/2

Passo 8

Fazendo a substituição u = z^2 + r^2, então du = 2r, dr. A integral se torna:
E = sigma z2varepsilon0 cdot integralz^2^z^2 + R^2 12 u^-3/2, du
E = sigma z4varepsilon0 cdot [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + R^2
E = sigma z4varepsilon0 cdot ( -2(z^2 + R^2)^-1/2 + 2(z^2)^-1/2 )

Passo 9

Simplificando:
E = sigma z4varepsilon0 cdot 2 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 )
E = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 )

Passo 10

Agora, vamos substituir os valores numéricos. Primeiro, convertemos todas as medidas para o Sistema Internacional:
  • Raio do disco: R = 0,025, m
  • Distância z = 0,12, m
  • Densidade superficial de carga: sigma = 5,3 times 10^-6, C/m^2
  • Permissividade do vácuo: varepsilon0 = 8,85 times 10^-12, C^2/Ncdotm^2
Substituindo na fórmula:
E = 5,3 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 ( 1 - 0,12raiz0,12^2 + 0,025^2 )

Passo 11

Calculando a parte dentro dos parênteses:
raiz0,12^2 + 0,025^2 = raiz0,0144 + 0,000625 = raiz0,015025 approx 0,1225, m
0,120,1225 approx 0,9796
1 - 0,9796 = 0,0204

Passo 12

Agora, calculando o fator fora dos parênteses:
5,3 times 10^-62 times 8,85 times 10^-12 = 5,3 times 10^-61,77 times 10^-11 approx 3,0 times 10^5, N/C

Passo 13

Multiplicando os dois resultados:
E = 3,0 times 10^5, N/C times 0,0204 approx 6,1 times 10^3, N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico produzido pelo disco no ponto considerado é aproximadamente 6,1 times 10^3, N/C.

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