(Decaimento exponencial) valor de compra de uma determinada máquina em função do tempo é dado pela seguinte fórmula:
, onde é uma constante a ser determinada. Se a máquina foi comprada há 5 anos por , qual o seu valor atual? Esboce o gráfico do valor da máquina em função do tempo. Resp: R$ 223,1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Decaimento Exponencial. A questão nos dá a fórmula do valor de compra de uma máquina ao longo do tempo: . Sabemos que a máquina foi comprada há 5 anos por R$ 1.000,00. Vamos encontrar o valor atual da máquina.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o que cada símbolo na fórmula representa:
  • é o valor da máquina no tempo .
  • é a constante que representa o valor inicial da máquina.
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,718.
  • é o tempo decorrido em anos.
  • é a taxa de depreciação anual.

Passo 3

Sabemos que a máquina foi comprada por R$ 1.000,00 há 5 anos. Isso significa que quando , o valor da máquina . Portanto, a constante é igual ao valor inicial da máquina:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor atual da máquina, ou seja, o valor após 5 anos. Vamos substituir na fórmula:

Passo 5

Calculando o expoente:
Então:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Multiplicando pelo valor inicial:

Resposta

O valor atual da máquina é R$ 223,1.

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