f^(-1)(x) = (3x + 1) / (4 - 2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é: . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função original , ou seja, encontrar a partir da sua função inversa. Para isso, vamos precisar entender como as funções inversas funcionam e saber manipular equações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se e são funções inversas, então:
Isso quer dizer que, para encontrar , podemos trocar e na equação da função inversa e resolver para .

Passo 3

Vamos começar representando a função inversa com :
Agora, trocamos por e por :

Passo 4

Nosso objetivo agora é resolver essa equação para , que será a nossa função original . Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Distribuindo o :

Passo 5

Agora, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado da equação e os termos sem do outro lado:
Fatorando o no lado direito:

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :
Portanto, a função original é:

Resposta

A função original é .

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