A mudança de coordenadas esféricas é dada pelas equações x = ρ sen Φ cos Φ / y = ρ sen θ / z = ρ cos θ o conjunto de pontos A = {(x, y, z)} ∈ |R³, tal que ρ = constante} é uma superfície esférica. Já o conjunto de pontos A = {(x, y, z) ∈ |R³, tal que ∅ eixo 0z. E o conjunto de pontos A = {(x, y, z) ∈ |R³, tal que ∅ = constante} é um cone. Apresente a equação, em coordenadas esféricas, da esfera x²+y²+(z-a)²=b². Escolha uma:
(a) ρ = 4b ρ cos∅ + b² + a²
(b) ρ = 2a ρ cos∅ + b² - a²
© ρ = 2b ρ cos∅ + a² - b²
(d) ρ = a ρ sen∅ + b² - a²
(e) ρ = 3a ρ sen∅ + b² + a²

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da esfera $ x^2 + y^2 + (z - a)^2 = b^2 $ nas coordenadas esféricas. Para isso, vamos usar o conteúdo de mudanças de coordenadas, especificamente de cartesianas para esféricas. Vamos precisar lembrar como converter as coordenadas $ (x, y, z) $ para $ (\rho, \theta, \phi) $ e aplicar isso na equação da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a mudança de coordenadas de cartesianas para esféricas. As fórmulas são:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Aqui, $ \rho $ é a distância do ponto até a origem, $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ (azimutal) e $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $ (polar).

Passo 3

Vamos substituir essas expressões na equação da esfera $ x^2 + y^2 + (z - a)^2 = b^2 $. Substituindo $ x $, $ y $ e $ z $, temos:
x^2 + y^2 + (z - a)^2 = b^2

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
rho^2 sin^2phi cos^2theta + rho^2 sin^2phi sin^2theta + (rho cosphi - a)^2 = b^2
Observamos que $ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $, então:
cos^2theta + sin^2theta = 1
rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + (rho cosphi - a)^2 = b^2

Passo 5

Agora, expandimos o termo $ (\rho \cos\phi - a)^2 $:
(rho cosphi - a)^2
Perceba que $ \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 $, então:
rho^2 sin^2phi + rho^2 cos^2phi - 2arho cosphi + a^2 = b^2
sin^2phi + cos^2phi = 1

Passo 6

Vamos isolar o termo com $ \rho $:
rho
Agora, rearranjamos para deixar $ \rho $ como fator comum:
rho^2 - 2arho cosphi = b^2 - a^2

Passo 7

Podemos reescrever a equação em termos de $ \rho $:
rho
Essa é uma equação quadrática em $ \rho $. Porém, queremos expressá-la de forma mais simples para identificar a opção correta.

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para isolar $ \rho $:
rho
Dividindo ambos os lados por $ \rho $ (assumindo $ \rho \neq 0 $):
rho^2 = 2a rho cosphi + b^2 - a^2
Mas essa forma ainda não nos ajuda diretamente. Vamos voltar à equação anterior:
rho
Podemos manipular para isolar $ \rho $:
rho neq 0
Como a equação original é quadrática em $ \rho $, e as opções fornecidas são lineares em $ \rho $, provavelmente a intenção é rearranjar para:
rho = 2a cosphi + b^2 - a^2rho
Mas isso não se encaixa nas opções. Observando as opções, percebemos que a correta deve ser obtida diretamente rearranjando a equação $ \rho^2 - 2a \rho \cos\phi = b^2 - a^2 $ para resolver para $ \rho $.

Passo 9

Na verdade, a maneira mais direta de associar com as opções é reorganizar a equação original:
rho^2 - 2a rho cosphi + a^2 = b^2
rho^2 = 2a rho cosphi + b^2 - a^2
Isso nos dá:
rho = 2a cosphi + b^2 - a^2rho
Mas como as opções estão na forma $ \rho = $ algo, e notamos que a presença de $ \rho $ no lado direito está de acordo com as opções, concluímos que a opção correta corresponde a:
rho =

Resposta

A equação correta em coordenadas esféricas é:
(b) $ \rho = 2a , \rho \cos\phi + b^2 - a^2 $

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