Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(f)
, para
;
(f)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação:
, onde
. A matéria envolvida aqui são as inequações e suas propriedades, especialmente envolvendo reciprocos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os sinais e os valores de
afetam a inequação.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os casos em que
é positivo e quando
é negativo, já que o comportamento da inequação muda com o sinal de
.
Caso 1:
- Se
é positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por sem mudar o sentido da desigualdade: - Agora, dividindo ambos os lados por 3 (que é positivo), continuamos com o mesmo sentido:
- Então, para
, a afirmação de fato implica .
Caso 2:
- Se
é negativo, ao multiplicar ambos os lados por , devemos inverter o sentido da desigualdade: - Dividindo ambos os lados por 3 (positivo), mantemos o sentido:
- Mas aqui temos um problema: nós assumimos que
, então não é possível, pois é positivo. Isso significa que não existe que satisfaça .
Passo 3
Assim, analisando ambos os casos:
- Para
, a implicação é verdadeira. - Para
, a condição nunca é satisfeita, então a implicação é automaticamente verdadeira nesse caso.
Resposta
A afirmação
para
é verdadeira.
Exercícios relacionados
Resolva as equações em
:
Esboce a região de integração em cada caso
Resolva as inequações em
:
Resolva as inequações em
: