Esboce a região de integração em cada caso
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla:
Isso significa que queremos esboçar a região onde
varia de 1 a 2 e, para cada valor de
,
varia de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para visualizar essa área.
Passo 2
Vamos identificar as funções que definem os limites de
:
-
Limite Inferior:
Essa é uma hipérbole que diminui conformeaumenta. -
Limite Superior:
Essa é uma parábola que cresce conformeaumenta.
Passo 3
Agora, vamos considerar os limites de
:
-
varia de 1 a 2.
Isso significa que nossa região de integração estará entre essas duas curvas (
e
) no intervalo de
de 1 a 2.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
para confirmar os limites:
Então, elas se cruzam em
. Como estamos considerando
de 1 a 2, não há mais interseções nesse intervalo.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos descrever a região de integração:
- Eixo
: De 1 a 2. - Limite inferior de
: A curva . - Limite superior de
: A curva .
A região é a área entre essas duas curvas quando
está entre 1 e 2.
Resposta
A região de integração é o conjunto de pontos
onde
varia de 1 a 2 e, para cada
,
está entre
e
. Graficamente, é a área compreendida entre a hipérbole
e a parábola
no intervalo de
de 1 a 2.
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é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas:
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:
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(f) , para
;
(f)