Esboce a região de integração em cada caso

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla:
Isso significa que queremos esboçar a região onde varia de 1 a 2 e, para cada valor de , varia de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para visualizar essa área.

Passo 2

Vamos identificar as funções que definem os limites de :
  1. Limite Inferior:
    Essa é uma hipérbole que diminui conforme aumenta.
  2. Limite Superior:
    Essa é uma parábola que cresce conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos considerar os limites de :
  • varia de 1 a 2.
Isso significa que nossa região de integração estará entre essas duas curvas ( e ) no intervalo de de 1 a 2.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e para confirmar os limites:
Então, elas se cruzam em . Como estamos considerando de 1 a 2, não há mais interseções nesse intervalo.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos descrever a região de integração:
  • Eixo : De 1 a 2.
  • Limite inferior de : A curva .
  • Limite superior de : A curva .
A região é a área entre essas duas curvas quando está entre 1 e 2.

Resposta

A região de integração é o conjunto de pontos onde varia de 1 a 2 e, para cada , está entre e . Graficamente, é a área compreendida entre a hipérbole e a parábola no intervalo de de 1 a 2.

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(f) , para ;