Determinar as soluções das equações y' = 3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y' = 3 x^2. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais, que basicamente envolvem encontrar uma função desconhecida y a partir da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz: y' = 3 x^2 significa que a derivada de y em relação a x é igual a 3 x^2. Ou seja, se a gente souber a derivada, podemos encontrar a função original integrando ambos os lados da equação.

Passo 3

Para encontrar y, vamos integrar a expressão 3 x^2 em relação a x. A integração é representada pelo símbolo . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos realizar a integração. Sabemos que , onde C é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 5

Assim, após integrar, encontramos que a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução das equações y' = 3 x^2 é , onde C é uma constante arbitrária.

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